[論文レビュー] Calabi-Yau Frobenius algebras

Ching-Hwa Eu, Travis Schedler|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の可換な基数環上でのCalabi-Yau Frobenius代数を導入し、Tateコホモロジーの類似である安定Hochschildコホモロジー理論を定義する。周期的Calabi-Yau Frobenius代数は、その安定HochschildコホモロジーにBatalin-VilkoviskyおよびFrobenius代数構造を持つことを証明し、preprojective代数および群代数のHochschildコホモロジーを一元的に計算する枠組みを提供する。ADEクイバーおよび周期的群の例では、明示的な双対性とBV構造が得られる。

ABSTRACT

We define Calabi-Yau and periodic Frobenius algebras over arbitrary base commutative rings. We define a Hochschild analogue of Tate cohomology, and show that the "stable Hochschild cohomology" of periodic CY Frobenius algebras has a Batalin-Vilkovisky and Frobenius algebra structure. Such algebras include (centrally extended) preprojective algebras of (generalized) Dynkin quivers, and group algebras of classical periodic groups. We use this theory to compute (for the first time) the Hochschild cohomology of many algebras related to quivers, and to simplify the description of known results. Furthermore, we compute the maps on cohomology from extended Dynkin preprojective algebras to the Dynkin ones, which relates our CY property (for Frobenius algebras) to that of Ginzburg (for algebras of finite Hochschild dimension).

研究の動機と目的

• 任意の可換な基数環上でのCalabi-Yau Frobenius代数を定義し、体を超える範囲にまでCY性質を一般化すること。
• TateコホモロジーのHochschild版としての安定Hochschildコホモロジー理論を導入し、すべての整数次元にわたるコホモロジーを拡張すること。
• 周期的Calabi-Yau Frobenius代数が、その安定HochschildコホモロジーにBatalin-VilkoviskyおよびFrobenius代数構造を持つことを確立すること。
• ADEクイバーのpreprojective代数および任意の基数環上の中心拡張preprojective代数のHochschildコホモロジーを計算すること。
• 拡張されたおよびディンキン型preprojective代数の間の写像を通じて、Frobenius代数のCY性質をGinzburgの有限Hochschild次元を持つ代数のCY性質に結びつけること。

提案手法

• 安定 $A$-双加群圏における $\underline{HH}^\bullet(A) = \underline{\operatorname{Hom}}(\Omega^\bullet A, A)$ として、安定Hochschildコホモロジーを定義する。
• 安定モジュール圏と相対的Serre双対性を用いて、$CY(m)$-Frobenius代数に対して、双対性同型 $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{m-\bullet}(A)$ を定義する。
• 安定Hochschildコホモロジーが可換なグレーディング環であり、安定Hochschildホモロジーがその上でのグレーディング加群であることを証明する（収縮作用を通じて）。
• 周期的Frobenius代数に対して、$(HH^\bullet, HH_\bullet)$ の計算論的構造が $\mathbb{Z}$-グレーディング安定設定に拡張されることを確立する。
• 安定圏における $A^\vee \simeq \Omega^{m+1}A$ の同型を用いてCY性質を定義し、双対性およびBV構造を導出する。
• 理論を適用して、ADEクイバーのpreprojective代数および周期的群代数の $\underline{HH}^\bullet$ を計算し、$\underline{HH}^\bullet \cong \underline{HH}^{2m+1-\bullet*}$ が成り立つことを示す（ADEの場合 $m=2$）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius代数の文脈において、Calabi-Yau性質を体から任意の可換基数環へ一般化する方法は何か？
• RQ2 $\mathbb{Z}$ や一般の基数環上でのADEクイバーのpreprojective代数のHochschildコホモロジーの構造は何か？
• RQ3 周期的Frobenius代数の安定Hochschildコホモロジーは、Batalin-VilkoviskyおよびFrobenius代数構造とどのように関係するか？
• RQ4 安定モジュール圏は、TateコホモロジーのHochschild版を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 拡張されたディンキン型とディンキン型preprojective代数の間の写像は、Frobenius代数のCY性質とGinzburgのCY性質をどのように結びつけるか？

主な発見

• 安定Hochschildコホモロジー $\underline{HH}^\bullet(A)$ は可換なグレーディング環であり、$A$ が周期的Calabi-Yau Frobenius代数であればFrobenius代数でもある。
• $A$ が $CY(m)$-Frobenius代数であるとき、$\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{m-\bullet}(A)$ であり、また $\underline{HH}^0(A)$-加群として $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{2m+1-\bullet*}(A)$ が成り立つ。
• ADEクイバーの中心拡張preprojective代数の安定Hochschildコホモロジーには、$m=2$ のもとでBatalin-VilkoviskyおよびFrobenius代数構造が存在する。
• この理論により、$\mathbb{Z}$ や任意の基数環上でのpreprojective代数のHochschildコホモロジーの最初の既知の計算が可能になった。
• 拡張されたディンキン型からディンキン型preprojective代数への写像は、コホモロジーに誘導写像を引き起こし、Frobenius代数のCY性質とGinzburgのCY性質を結びつける。
• 有限群の周期的群代数の安定HochschildコホモロジーにはBV構造が存在し、既知の体上での結果を任意の基数環へ一般化する。