[論文レビュー] Calabi-Yau structures on topological Fukaya categories

Vivek Shende, Alex Takeda|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 85被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、任意の樹状特異点におけるdg圏の局所的・グローバル的構成のための局所からグローバルへの形式的枠組みを確立し、トポロジカルな Fukaya 圏における Calabi-Yau 構造を、可解的コシェーブの dg 圏のコシェーブを用いて構成する。著者らは、ホッフシャイルドホモロジーのシェーヴィフィケーションからトポロジカルな双対化シェーブへの非退化的準同型を導入し、そのことで方向性の一般化を定義することで Calabi-Yau 構造を定義し、その構造が、共変 Verdier 対称性を介して、滑らかでないコシェーブから滑らかなものへと持ち上げられることを証明している。この結果は、微小局所的シェーブ理論およびミラー双対性への応用を伴う。

ABSTRACT

We develop a local-to-global formalism for constructing Calabi-Yau structures for global sections of constructible sheaves or cosheaves of categories. The required data - an isomorphism of the sheafified Hochschild homology with the topological dualizing sheaf - specializes to the classical notion of orientation when applied to the category of local systems on a manifold. We apply this construction to the cosheaves on arboreal skeleta arising in the microlocal approach to the A-model.

研究の動機と目的

• 微小局所的シェーブ理論に由来するトポロジカルな Fukaya 圏における Calabi-Yau 構造を体系的に構成するための方法を開発すること。
• シェーヴ理論的枠組みを用いて、高次カテゴリカルかつ非滑らか設定における古典的「方向性」の概念を一般化すること。
• 滑らかな構造的コシェーブのカテゴリ（ccc 空間）における Calabi-Yau 構造と、固有コシェーブにおける方向性との間の対応関係を確立すること。
• 局所的局所的シェーブ理論のモジュライ空間（局所的局所的関数、正のポジトロイド多様体、および絡み目の不変量など）におけるシフトされたシンプレクティック構造と量子化を一様に構成すること。
• 微小局所的シェーブ理論とホモロジカルなミラー双対性との間の溝を埋めるために、微小局所的カテゴリに Calabi-Yau 構造を付与すること。

提案手法

• 有限な分割に関して可解的である dg 圏のコシェーブとして定義される、構造的コシェーブカテゴリ（ccc 空間）の概念を導入する。
• コシェーブのシェーヴィフィケーションされたホッフシャイルドホモロジーからトポロジカルな双対化シェーブへの非退化的準同型を定義することで、Calabi-Yau 構造を定義する。
• 共変 Verdier 対称性を用いて、固有のカテゴリのシェーブにおける方向性と、滑らかなコシェーブにおける Calabi-Yau 構造との関係を特定する。
• ホッフシャイルドホモロジーと双対の間の可換な正方形を構成し、固有シェーブにおける方向性が、対応する滑らかなコシェーブにおける Calabi-Yau 構造へと持ち上がることを示す。
• この形式的枠組みを樹状特異点および微小局所的シェーブ理論に適用し、方向性の存在が Fukaya 圏における Calabi-Yau 構造の存在と同値であることを示す。
• 正確な設定において微小局所的シェーブと Fukaya 圏の間の同値性を活用し、微小局所的側から Calabi-Yau 構造を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的データを用いて、トポロジカルな Fukaya 圏における Calabi-Yau 構造を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 構造的コシェーブの dg 圏の文脈における、方向性のカテゴリカルな類似物とは何か？
• RQ3 共変 Verdier 対称性は、固有シェーブにおける方向性と滑らかなコシェーブにおける Calabi-Yau 構造との間に、どのように関係するか？
• RQ4 微小局所的シェーブ理論的記述が、局所からグローバルへの原理を用いて、Fukaya 圏に Calabi-Yau 構造を付与できるか？
• RQ5 樹状特異点は、微小局所的シェーブ理論の文脈における Calabi-Yau 構造の実現において、果たす役割は何か？

主な発見

• シェーヴィフィケーションされたホッフシャイルドホモロジーからトポロジカルな双対化シェーブへの非退化的準同型は、ccc 空間における Calabi-Yau 構造を定義する。
• この構成は、多様体上の古典的「方向性」を、高次カテゴリカルおよび非滑らか設定へと一般化する。
• 固有 csc 空間 (X, F^pp) における次元 d の方向性は、対応する ccc 空間 (X, F) における次元 d の Calabi-Yau 構造を誘導する。
• 写像 D(Φ) は、固有シェーブにおける方向性を滑らかなコシェーブにおける Calabi-Yau 構造へと写像し、その非退化性は小さな開集合上で局所的に確認される。
• 任意の十分に小さな開集合 U に対して、カテゴリ F(U) は飽和的であるため、双対性が Hochschild コンプレックス上で同値を誘導し、その結果、同型の持ち上げが可能になる。
• この形式的枠組みは、微小局所的シェーブの樹状特異点上に適用可能であり、局所的局所的関数、正のポジトロイド多様体、および絡み目の接触ホモロジー不変量を含む、モジュライ空間におけるシフトされたシンプレクティック構造と量子化の均一な構成を提供する。