[論文レビュー] Coarse-Graining Open Markov Processes

John C. Baez, Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Petri Nets in System Modeling参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、入出力状態が指定された確率の流入・流出が可能なオープン・マーカフ過程に対して粗粒化を拡張する。対称的モノイダル二重圏を導入し、2-射がオープン・マーカフ過程間の粗粒化写像を表すようにしている。ブラックボクシング—入出力の流れの間の線形関係へとオープン過程を写像する関手—が粗粒化を尊重することを証明し、複雑な系の構成的解析を、簡略化され抽象化されたモデルを通じて可能にする。

ABSTRACT

Coarse-graining is a standard method of extracting a simple Markov process from a more complicated one by identifying states. Here we extend coarse-graining to open Markov processes. An "open" Markov process is one where probability can flow in or out of certain states called "inputs" and "outputs". One can build up an ordinary Markov process from smaller open pieces in two basic ways: composition, where we identify the outputs of one open Markov process with the inputs of another, and tensoring, where we set two open Markov processes side by side. In previous work, Fong, Pollard and the first author showed that these constructions make open Markov processes into the morphisms of a symmetric monoidal category. Here we go further by constructing a symmetric monoidal double category where the 2-morphisms are ways of coarse-graining open Markov processes. We also extend the already known "black-boxing" functor from the category of open Markov processes to our double category. Black-boxing sends any open Markov process to the linear relation between input and output data that holds in steady states, including nonequilibrium steady states where there is a nonzero flow of probability through the process. To extend black-boxing to a functor between double categories, we need to prove that black-boxing is compatible with coarse-graining.

研究の動機と目的

• 閉じたマーカフ過程に通常適用される粗粒化を、指定された入出力を通じて確率が流入・流出するオープン・マーカフ過程へ一般化すること。
• 2つの操作、すなわち出力を入力と同一視する「合成」と並列構成である「テンソル積」を用いた、オープン・マーカフ過程の合成を形式化すること。これにより、対称的モノイダル圏が形成される。
• 2-射がオープン・マーカフ過程間の粗粒化写像を表す対称的モノイダル二重圏を構成することにより、システムダイナミクスの高階層の抽象化を可能にする。
• オープン・マーカフ過程から入出力データ間の線形関係へ写像するブラックボクシング関手を、二重圏間の関手へ拡張し、粗粒化と整合性を持つようにすること。
• 複雑なシステムの解析のための構成的フレームワークを確立すること。これは、内部構造を抽象化して簡略化したモデルを用いながらも、定常状態（非平衡定常状態を含む）における入出力行動を保持することを目的とする。

提案手法

• オープン・マーカフ過程を、確率が流入・流出可能な指定された入力・出力状態を有する連続時間のマーカフ過程として定義する。外部の流入・流出項を含むオープン・マスター方程式に従う。
• 粗粒化写像を、オープン・マーカフ過程の状態空間間の関数 $ p: X \to X' $ として導入する。これは全射であるとは限らず、動的構造を近似的に保つ。
• 次を満たす対称的モノイダル二重圏 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $ を構成する：対象は有限集合（入出力）、垂直1-射はこれらの集合間の関数、水平1-セルはオープン・マーカフ過程、2-射は粗粒化写像。
• ブラックボクシングを、各オープン・マーカフ過程に対して、定常状態における入出力の流れの間の線形関係を割り当てる関手 $ \blacksquare: \mathbb{M}\mathbf{ark} \to \mathbb{L}\mathbf{inRel} $ として定義する。これはオープン・マスター方程式の核によって定義される。
• 粗粒化とブラックボクシングの整合性を証明する。具体的には、粗粒化写像のブラックボクシングによる像が線形関係の包含写像であることを示し、二重圏の文脈における関手性を保証する。
• 高階圏論の結果、特に等価な対称的モノイダル二重圏の水平2-圏構成を用いて、対称的モノイダル2-圏 $ \mathbb{Mark} $ と $ \mathbb{LinRel} $ を得る。さらに、それらの間の対称的モノイダル関手の存在を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率が指定された入出力を通じて流入・流出するオープン・マーカフ過程において、粗粒化を閉じたマーカフ過程からどのように一般化できるか？
• RQ2 順次合成と並列合成の両方を含む、オープン・マーカフ過程の合成と簡略化を最もよく表現する代数的構造は何か？
• RQ3 オープン・マーカフ過程から入出力データ間の線形関係へ写像するブラックボクシング関手を、カテゴリから二重圏へ拡張することは可能か？その際、粗粒化を尊重するようにする条件は何か？
• RQ4 オープン・マーカフ過程間の粗粒化写像がブラックボクシングプロセスと整合するための条件は何か？これにより、簡略化が入出力行動を歪めないことが保証される。
• RQ5 得られたフレームワークは、内部詳細を抽象化しつつ定常状態における入出力行動を保持することで、複雑なシステムの構成的推論をどのように支援できるか？

主な発見

• 本論文は、2-射がオープン・マーカフ過程間の粗粒化写像を表す対称的モノイダル二重圏 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $ を構成した。これにより、内部ダイナミクスの抽象化が可能になった。
• ブラックボクシング関手が粗粒化を尊重することを証明した。具体的には、粗粒化とブラックボクシングが可換であることを示した。
• ブラックボクシングプロセスは、非平衡定常状態（非ゼロの確率フローを伴う）を含む定常状態の振る舞いを捉える。各オープン・マーカフ過程に対して、方程式 $ H(v) + i_*(I) - o_*(O) = 0 $ で定義される線形部分空間を関連付ける。
• 作者らは $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $ が等価的である（isofibrant）ことを確立し、その水平2-圏として対称的モノイダル2-圏 $ \mathbb{Mark} $ を構成した。これにより、オープン系のための構成的フレームワークが得られた。
• 二重圏 $ \mathbb{L}\mathbf{inRel} $ から対称的モノイダル2-圏 $ \mathbb{LinRel} $ を構成し、ブラックボクシング関手を対称的モノイダル関手 $ \blacksquare: \mathbb{Mark} \to \mathbb{LinRel} $ へ拡張した。これにより、合成とモノイダル構造が保存された。
• このフレームワークにより、複雑なシステムの構成的解析が可能になった。複雑なシステムは、合成とテンソル積を用いて小さなオープン・マーカフ過程から構築でき、その振る舞いは内部詳細を抽象化した簡略化された粗粒化モデルを用いて、入出力の忠実度を損なわずに解析できる。