[論文レビュー] Comparison principles by monotonicity and duality for constant coefficient nonlinear potential theory and PDEs

Marco Cirant, F. Reese Harvey+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双対性と単調性を用いて定数係数非線形ポテンシャル理論と完全非線形PDEの比較原理を確立し、制約集合 $ \mathcal{F} $ に対して一意な作用素 $ F $ を定義する対応原理を導入することで、ポテンシャル理論と作用素理論を統一する。主な貢献は、各制約集合 $ \mathcal{F} $ に対して関連する標準的作用素 $ F $ を定義し、$ \mathcal{M} $ が $ \mathcal{F} $ の単調性部分方程式であるような $ C^2 $ の厳密な $ \mathcal{M} $-下有界関数をもつ領域で比較原理が成り立つことである。この枠組みは、退化楕円型方程式および粘性解の解析を簡素化・強化する。

ABSTRACT

We prove comparison principles for nonlinear potential theories in euclidian spaces in a very straightforward manner from duality and monotonicity. We shall also show how to deduce comparison principles for nonlinear differential operators, a program seemingly different from the first. However, we shall marry these two points of view, for a wide variety of equations, under something called the correspondence principle. In potential theory one is given a constraint set F on the 2-jets of a function, and the boundary of F gives a differential equation. There are many differential operators, suitably organized around F, which give the same equation. So potential theory gives a great strengthening and simplification to the operator theory. Conversely, the set of operators associated to F can have much to say about the potential theory. An object of central interest here is that of monotonicity, which explains and unifies much of the theory. We shall always assume that the maximal monotonicity cone for a potential theory has interior. This is automatic for gradient-free equations where monotonicity is simply the standard degenerate ellipticity and properness assumptions. We show that for each such potential theory F there is an associated canonical operator, defined on the entire 2-jet space and having all the desired properties. Furthermore, comparison holds for this operator on any domain which admits a regular strictly M-subharmonic function, where M is a monotonicity subequation for F. On the operator side there is an important dichotomy into the unconstrained cases and constrained cases, where the operator must be restricted to a proper subset of 2-jet space. These two cases are best illustrated by the canonical operators and Dirichlet-Garding operators, respectively. The article gives many, many examples from pure and applied mathematics, and also from theoretical physics.

研究の動機と目的

• 定数係数非線形ポテンシャル理論における比較原理を双対性と単調性を用いて確立すること。
• 制約集合 $ \mathcal{F} $ と微分作用素を結びつける対応原理を通じて、ポテンシャル理論と作用素理論を統一すること。
• 各制約集合 $ \mathcal{F} $ に対して、2次ジェット空間全体に定義された標準的作用素 $ F $ を定義し、すべての望ましい性質を満たすようにすること。
• 標準的作用素 $ F $ が、$ C^2 $ の厳密な $ \mathcal{M} $-下有界関数をもつ領域 $ \Omega \subset \subset \mathbb{R}^n $ で比較原理が成り立つことを示すこと。
• 単調性と双対性が、退化楕円型方程式および粘性解の解析において統一的かつ簡素化された枠組みを提供することを示すこと。

提案手法

• 本稿では、部分方程式に対する双対性理論を用いて、2次ジェット上の制約集合を通じて $ \mathcal{F} $-下有界関数を定義する。
• 単調性錐 $ \mathcal{M} $ の概念を導入し、最大の単調性錐が内部をもつものと仮定することで、構造的安定性を保証する。
• 制約集合 $ \mathcal{F} $ から導かれる、2次ジェット空間 $ \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathcal{S}(n) $ 全体に定義された標準的作用素 $ F $ が構成される。この作用素は本質的な非線形PDE構造を捉える。
• 比較原理は、双対な単調性錐に対するゼロ最大値原理と、粘性理論における上位テストジェットの使用によって証明される。
• 証明は、$ \mathcal{F} $ に属するジェット列 $ J_k \in \mathcal{F} $ が極限 $ J \notin \mathcal{F} $ に収束する反証法に依拠し、$ \mathcal{F} $ の閉性を活用する。
• 対応原理により、1つの $ \mathcal{F} $ に対して複数の作用素が関連づけられ、ポテンシャル理論が作用素理論的解析を簡素化・強化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対性と単調性から直接的に非線形ポテンシャル理論における比較原理をどのように導出できるか？
• RQ2 定数係数方程式におけるポテンシャル理論と作用素理論を統一する標準的作用素 $ F $ の役割は何か？
• RQ3 領域 $ \Omega \subset \subset \mathbb{R}^n $ に対して、標準的作用素 $ F $ の比較原理が成り立つ幾何的条件は何か？
• RQ4 対応原理は、制約集合 $ \mathcal{F} $ と同一のPDEを生成する微分作用素の集合の間の溝をどのように埋めるか？
• RQ5 最大単調性錐が内部をもつことが、比較原理の有効性を保証するために重要な意義は何か？

主な発見

• 比較原理は、$ \mathcal{M} $ が $ \mathcal{F} $ の単調性部分方程式であるような、$ C^2 $ の厳密な $ \mathcal{M} $-下有界関数をもつ任意の領域 $ \Omega \subset \subset \mathbb{R}^n $ で、標準的作用素 $ F $ に対して成り立つ。
• 凸関数のポテンシャル理論において、標準的作用素 $ F $ は $ C^2 $-場合におけるヘッセ行列 $ D^2u $ の最小固有値に一致する。
• 定数係数の場合、境界が厳密に凸である $ C^2 $-滑らかな領域では、ディリクレ問題の解の存在が保証され、一意性は比較原理と同値である。
• 標準的作用素 $ F $ は2次ジェット空間全体で正しく定義されており、$ \mathcal{F} $ から得られるすべての望ましい性質を引き継ぎ、一貫性と頑健性を保証する。
• 比較原理の証明は、$ \mathcal{F} $ に属するジェット列 $ J_k \in \mathcal{F} $ が $ \mathcal{F} $ に属さない極限 $ J \notin \mathcal{F} $ に収束する反証法に依拠しており、これは $ \mathcal{F} $ の閉性に反する。
• この枠組みは、制約なしと制約ありの両ケースを統一する：標準的作用素は制約なしのケースを表し、ディリクレ＝ガーディング作用素は制約ありのケースを表す。