[論文レビュー] Constructing new Calabi-Yau 3-folds and their mirrors via conifold transitions

Victor V. Batyrev, Maximilian Kreuzer|ArXiv.org|Feb 22, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、68体のトポロジカルに異なるCalabi–Yau 3-foldを、反射的4次元多面体の滑らか化を用いたコンパクト化遷移によって構成した。これらのCalabi–Yau 3-foldは、コンパクト化特異点をもつトーリック超曲面から得られ、210個の反射的4次元多面体の滑らか化を用いている。また、平坦変形を用いた鏡対称性の構成を提案し、1パラメータ族に対して28個の新しいピカード–フック作用素を計算した。この研究は、トーリック幾何学を超えた鏡対称性の一般化を実現し、量子コホモロジー計算を可能にした。

ABSTRACT

We construct a surprisingly large class of new Calabi-Yau 3-folds $X$ with small Picard numbers and propose a construction of their mirrors $X^*$ using smoothings of toric hypersurfaces with conifold singularities. These new examples are related to the previously known ones via conifold transitions. Our results generalize the mirror construction for Calabi-Yau complete intersections in Grassmannians and flag manifolds via toric degenerations. There exist exactly 198849 reflexive 4-polytopes whose 2-faces are only triangles or parallelograms of minimal volume. Every such polytope gives rise to a family of Calabi-Yau hypersurfaces with at worst conifold singularities. Using a criterion of Namikawa we found 30241 reflexive 4-polytopes such that the corresponding Calabi-Yau hypersurfaces are smoothable by a flat deformation. In particular, we found 210 reflexive 4-polytopes defining 68 topologically different Calabi--Yau 3-folds with $h_{11}=1$. We explain the mirror construction and compute several new Picard--Fuchs operators for the respective 1-parameter families of mirror Calabi-Yau 3-folds.

研究の動機と目的

• トーリック超曲面からのコンパクト化遷移を用いて、小さなピカード数をもつ新しいCalabi–Yau 3-foldを構成すること。
• 特異なCalabi–Yau超曲面の滑らか化を用いた鏡対称性の構成を提案することで、トーリック幾何学を超えた鏡対称性の一般化を図ること。
• 鏡対称なCalabi–Yau 3-foldの1パラメータ族に対してピカード–フック作用素を計算し、量子コホモロジーおよびインスタントン数の計算を可能にすること。
• 滑らかにできるトーリック超曲面とコンパクト化特異点をもつものから生じる、トポロジカルに異なるCalabi–Yau 3-foldの分類と列挙を行うこと。
• 微分同相型とピカード–フック作用素の関係を調査し、有理関数の変換がインスタントン数を保存するかを検証すること。

提案手法

• 2次元面が三角形および最小体積の平行四辺形のみからなる反射的4次元多面体を特定し、その数は198,849個にのぼる。
• 名嘉川の基準を用いて、関連するCalabi–Yau超曲面が平坦変形によって滑らかにできるとされる30,241個の反射的4次元多面体を選別する。
• これらの多面体によって定義されるGorensteinトーリックFano 4-foldにおける一般超曲面の滑らか化としてCalabi–Yau 3-foldを構成する。
• トーリック幾何学およびMPPC（最大部分的プロジェクト型クリープント）特異点解消を用いて、ホッジ数およびトポロジカル不変量を計算する。
• 主周期および鏡写し写像の直接評価により、1パラメータ族に対するピカード–フック作用素を導出する。
• 同じ微分同相型に対して異なるピカード–フック作用素が有理関数の変換によって関連づけられ、インスタントン数が保存されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの反射的4次元多面体が平坦変形によって滑らかにできるCalabi–Yau超曲面を定めるのか。また、そのような滑らかなCalabi–Yau 3-foldはいくつ存在するか。
• RQ2 コンパクト化遷移およびトーリック退化を用いて、非トーリックなCalabi–Yau 3-foldに対し、系統的な鏡対称性の構成が可能か。
• RQ3 同じ微分同相型の異なる代表元に対して、ピカード–フック作用素はどのように関係し、同じインスタントン数をもたらすか。
• RQ4 トーリック超曲面からのコンパクト化遷移によって構成された、h¹¹ = 1 をもつCalabi–Yau 3-foldのトポロジカルな多様性はどの程度か。
• RQ5 提案された鏡対称性の構成は、完全交差やより高次のトポロジカルな弦振幅へ拡張可能か。

主な発見

• 著者らは、68体のトポロジカルに異なるCalabi–Yau 3-foldを、h¹¹ = 1 をもつものとして特定した。これらのCalabi–Yau 3-foldは、210個の反射的4次元多面体から得られた。
• その中で28体の微分同相型が、新しい1パラメータ族を形成し、そのピカード–フック作用素が明示的に計算された。
• 微分同相型X⁴⁵₁₄₄,₁₂₀に対して、2つの異なるピカード–フック作用素が変換z → z/(1 + 4z)によって関連づけられ、両者とも8次までのインスタントン数n(0) = {3744, 50112, 1656320, ...} を同じ値として得た。
• 微分同相型X⁵¹₂₀₀,₁₄₀に対し、2つの作用素はz → z/(1 − 4z)によって関連し、両者とも8次までのインスタントン数n(0) = {2600, 25600, 530000, ...} を同じ値として得た。
• 結果として、有理関数の変換がインスタントン数を保存することが確認され、提案された鏡対称性の構成の整合性が裏付けられた。
• 本研究により、h¹²が小さい微分同相型は最大5つの異なるピカード–フック作用素をもつことが判明し、鏡族のモジュライ空間に豊かな構造があることが示唆された。