[論文レビュー] Controllability function as time of motion. I

Abdon E. Choque‐Rivero, V. I. Korobov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Control and Dynamics of Mobile RobotsEngineering参考文献 3被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、制御が有界である正準系における許容可能な位置制御問題を解くために、可制御性関数法を提案する。ここで、可制御性関数 Θ(x) は、原点への運動に要する有限時間の明示的表現を示す。Θ(x) を、その時間微分が閉ループ軌道に沿って -1 になるように構築することで、Θ(x) から導かれるフィードバック制御則 u(x) を用いて、有限時間安定化を保証する。また、単位制御限界下での3次系に対して明示的な解を提供する。

ABSTRACT

The admissible positional control problem for the canonical system with geometrical restrictions on the control is considered. The investigation is performed with the help of the controllability function method. We obtain controllability functions which are the time of motion from an arbitrary initial condition to the origin. We also reveal a set of controls which solves this problem.

研究の動機と目的

• 幾何的制御制約下における正準系の許容可能な位置制御問題に対処すること。
• 任意の初期状態から原点への運動時間を表す可制御性関数 Θ(x) を構築すること。
• 制御限界を満たしつつ、原点への有限時間収束を保証するフィードバック制御則 u(x) を導出すること。
• 単位制御大きさ制限下での3次正準系に対して明示的な解析的解を提供すること。
• 閉ループ軌道に沿った Θ(x) の微分が正確に -1 であることを示し、有限時間到達可能性を保証すること。

提案手法

• 可制御性関数 Θ(x) を、閉ループ系に沿った時間微分が -1 になるように構築する。すなわち、dΘ/dt = -1 である。
• 3次系に対して、制御則は u(x) = -6/Θ(x)·x₁ - 25/Θ²(x)·x₂ - 45/Θ³(x)·x₃ として導出される。
• 時間変化するオイラー型方程式を定数係数線形常微分方程式に変換するために、置換 t = Θ₀ - e^τ を行う。
• 解は τ = ln(Θ₀ - t) の指数関数および三角関数の形で表現され、軌道の明示的計算が可能になる。
• 初期条件を用いて一般解における定数を決定し、初期状態 x₀ と整合するようにする。
• この方法により、x ≠ 0 に対して Θ(x) が連続的に微分可能であり、不等式 ∂Θ/∂x · f(x,u(x)) ≤ -βΘ¹⁻¹/α を満たすことが保証される。ただし α = ∞ の場合、これはリャプノフ関数の性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界制御を伴う正準系に対して、原点への正確な運動時間を表す可制御性関数をどのように構築できるか？
• RQ2 制御限界 |u| ≤ d を満たしつつ、原点への有限時間収束を保証するフィードバック制御則 u(x) は何か？
• RQ3 運動時間 Θ(x) を明示的に計算でき、閉ループ軌道に沿って dΘ/dt = -1 を満たすことを確認できるか？
• RQ4 導出された制御則下でのシステム軌道はどのように振る舞い、閉形式で表現可能か？
• RQ5 時間置換により定数係数常微分方程式に変換された系において、解の解析的構造は何か？

主な発見

• 制御限界 |u| ≤ 1 の3次正準系に対して、初期状態 x₀ からの運動時間は Θ₀ = 41x₁⁰/11 である。ただし x₂⁰ = -41(x₁⁰)²/121 かつ x₃⁰ = 0 のとき。
• 軌道は時間の関数として明示的に与えられ、t → Θ₀ のとき x(t) → 0 となる。これにより有限時間収束が確認される。
• 軌道上での制御則は u(t) = -1/41(6 + 35cosα(t)) であり、すべての t に対して |u(t)| ≤ 1 を満たす。
• 解は α(t) = √6 ln(1 - 11t/(41x₁⁰)) を用いて表現され、対数的時間スケーリングによって変調された振動的挙動を示す。
• 解の定数は初期条件から決定され、c₁, c₂, c₃ は x₀₁, x₀₂, x₀₃ および Θ₀ を用いて表現される。
• 軌道に沿った Θ(x) の微分が正確に -1 であることが確認され、Θ(x) が原点への真の運動時間であることが裏付けられる。