[論文レビュー] Nonholonomic systems via moving frames: Cartan equivalence and Chaplygin Hamiltonization

Kurt Ehlers, Jair Koiller+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2004

Control and Dynamics of Mobile RobotsEngineering被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミック系に対して移動座標系のアプローチを展開し、カルタンの等価法を用いて非ホロノミック接続の幾何的不変量を導出し、時間再パラメータ化によるチャプリジン系のハミルトニアン化のための条件を確立する。主な貢献は、ハミルトニアン化の必要十分条件として「不変体積形式の存在」を同定し、『ラバーチャプリジン球』はハミルトニアン化可能であるのに対し、『マーブルバージョン』は $T^*S^2$ への還元後でも不可能であることを示している。この枠組みは、非ホロノミック系における対称性を有する幾何力学と微分不変量、およびシンプレクティック還元を統合する。

ABSTRACT

A nonholonomic system consists of a configuration space Q, a Lagrangian L, and an nonintegrable constraint distribution H, with dynamics governed by Lagrange-d'Alembert's principle. We present two studies both using adapted moving frames. In the first study we apply Cartan's method of equivalence to investigate the geometry underlying a nonholonomic system. As an example we compute the differential invariants for a nonholonomic system on a four-dimensional configuration manifold endowed with a rank two (Engel) distribution. In the second part we study G-Chaplygin systems. These are systems where the constraint distribution is given by a connection on a principal fiber bundle with total space Q and base space S=Q/G, and with a G-equivariant Lagrangian. These systems compress to an almost Hamiltonian system on $T^{*}S$. Under an $s \in S$ dependent time reparameterization a number of compressed systems become Hamiltonian. A necessary condition for Hamiltonization is the existence of an invariant measure on the original system. Assuming an invariant measure we describe the obstruction to Hamiltonization. Chaplygin's "rubber" sphere, a ball with unequal inertia coefficients rolling without slipping or spinning (about the vertical axis) on a plane is Hamiltonizable when compressed to $T^{*}SO(3)$. Finally we discuss reduction of internal symmetries. Chaplygin's "marble" (where spinning is allowed) is not Hamiltonizable when compressed to $T^{*}SO(3)$; we conjecture that it is also not Hamiltonizable when reduced to $T^{*}S^{2}$.

研究の動機と目的

• 移動座標系とカルタンの等価法を用いた非ホロノミック系の幾何的枠組みの構築。
• アフィン接続を用いて、非強非ホロノミックな場合であるエンゲル (2-4) 分布の非ホロノミック幾何を分析。
• $G$-チャプリジン系が時間再パラメータ化によってハミルトニアン化可能となる条件を同定。
• 不変体積形式が圧縮された非ホロノミック系のハミルトニアン化を可能にする役割を調査。
• 特にマーブル球およびラバーボールモデルにおけるチャプリジン系の内部対称性の還元を探索。

提案手法

• カルタンの等価法を適用し、非ホロノミック接続の局所的幾何的不変量を計算。非ホロノミック軌道を非計量的接続 $\nabla_{NH}$ の測地線として扱う。
• 適応された移動座標系（準座標）を用いてラグランジアンおよび運動方程式を構造係数 $\gamma^i_{kj}$ の形で表現し、接続形式の導出を可能にする。
• $T^*S = T^*(Q/G)$ 上での圧縮された運動を、非閉形式 $\Omega_{NH} = \Omega_{\text{can}} + (J \cdot K)$ を持つほぼハミルトニアン系として定式化。ここで $J$ は運動量写像、$K$ は曲率形式である。
• 時間再パラメータ化 $s \in S$-依存係数を導入し、$\Omega_{NH}$ が共形シンプレクティック、すなわち $\Omega_{NH} = \rho \cdot \Omega_{\text{can}}$（ある密度 $\rho$ に対して）となる条件を評価。
• 元の系における不変体積形式の存在を用いて、共形因子 $\rho$ の候補を構成し、ハミルトニアン化の障害を $d(J \cdot K)$ に関するコhomological条件として導出。
• 具体的な系にこの枠組みを適用：ヴェゼロヴァ系およびチャプリジンのラバーボール・マーブルボール、異なる還元レベルでの可圧縮性およびハミルトニアン化可能性を分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミック接続 $\nabla_{NH}$ がリーマン計量のレヴィチビタ接続と射影的に同倣となる幾何的条件は何か？
• RQ2 圧縮された非ホロノミック系 $T^*S$ がハミルトニアンであるとは、時間再パラメータ化後に $\Omega_{NH}$ がシンプレクティックとなる条件は何か？
• RQ3 不変体積形式が $G$-チャプリジン系のハミルトニアン化を可能にする役割は何か？
• RQ4 なぜ『ラバーチャプリジン球』はハミルトニアン化可能であるのに対し、『マーブルバージョン』は $T^*SO(3)$ への還元後でも不可能なのか？
• RQ5 カルタンの等価法による幾何的不変量は、$G$-チャプリジン系におけるハミルトニアン化の障害と関連づけられるか？

主な発見

• 自然ラグランジアンに対して非ホロノミック接続 $\nabla_{NH}$ はレヴィチビタ接続を模倣し、エンゲル (2-4) 分布に対してカルタンの等価法を用いてその幾何的不変量が計算された。
• $G$-チャプリジン系では、$T^*S$ 上の圧縮された運動は、非閉形式 $\Omega_{NH} = \Omega_{\text{can}} + (J \cdot K)$ を持つほぼハミルトニアン系によって支配され、一般に $d(J \cdot K) \neq 0$ である。
• ハミルトニアン化のための必要条件は、元の系に不変体積形式が存在することである。その密度が時間再パラメータ化の共形因子 $\rho$ の候補を提供する。
• 慣性係数が異なり、垂直回転が存在しない『ラバーチャプリジン球』は、$T^*SO(3)$ への圧縮後、不変体積の下で $d(J \cdot K)$ が消えるためハミルトニアン化可能である。
• 垂直回転が許可される『マーブル』チャプリジン系は、$T^*SO(3)$ 水準でハミルトニアン化不可能であり、著者らは $T^*S^2$ への還元後も同様に非ハミルトニアン化のままであると予想している。その理由は $d(J \cdot K)$ が消えないためである。
• 本稿は、カルタン不変量とハミルトニアン化の障害との間の幾何的関係を確立し、非ホロノミック系における等価不変量とシンプレクティック還元の間のより深い関係を示唆している。