[論文レビュー] Derivation of the relativistic momentum and relativistic equation of motion from Newton's second law and Minkowskian space-time geometry

Krzysztof R ebilas, Zaklad Fizyki+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Relativity and Gravitational Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、弾性衝突やテンソル形式主義に依存せずに、ミンコフスキー時空におけるニュートンの第二法則から相対論的運動量と運動方程式を導出する。相対論的力の法則 $\vec{F} = d\u005cvec{p}/dt$ を確立し、力の変換の新しい手法を用いてローレンツ不変性を証明し、初等的原則から相対論的力学の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

Starting from the classical Newton's second law which, according to our assumption, is valid in any instantaneous inertial rest frame of body that moves in Minkowskian space-time we get the relativistic equation of motion $\vec{F}=d\vec{p}/dt$, where $\vec{p}$ is the relativistic momentum. The relativistic momentum is then derived without referring to any additional assumptions concerning elastic collisions of bodies. Lorentz-invariance of the relativistic law is proved without tensor formalism. Some new method of force transformation is also presented.

研究の動機と目的

• 運動体の瞬時の慣性系において、ミンコフスキー時空内でのニュートンの第二法則から相対論的運動量と運動方程式を導出すること。
• 弾性衝突や追加の物理的仮定を用いずに、相対論的力の法則 $\\vec{F} = d\\vec{p}/dt$ を確立すること。
• テンソル形式主義を用いずに、相対論的法則のローレンツ不変性を証明すること。
• 相対論的力学における力の変換のための新しい手法を導入すること。

提案手法

• 運動体の瞬時の慣性系において、ニュートンの第二法則が成り立つと仮定する。
• ミンコフスキー時空の幾何学を用いて、速度と静止質量の関数として相対論的運動量を導出する。
• 相対論的運動量の時間微分を用いて相対論的力を定義し、$\\vec{F} = d\\vec{p}/dt$ を得る。
• 幾何学的および運動論的推論を用いて、ローレンツブーストにおける力の成分の変換則を導出する。
• 導出された力の法則がテンソル表記を避けてもローレンツ変換に対して不変であることを示す。
• 導出された相対論的力学と整合する、力の変換のための新しい手法を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、追加の物理的仮定を用いずに、ミンコフスキー時空の幾何学とニュートンの第二法則から相対論的運動量を導出できるか？
• RQ2 ミンコフスキー時空において初等的原則から導出した場合、相対論的運動方程式の形はどのようなものか？
• RQ3 テンソル形式主義を用いずに、相対論的力の法則のローレンツ不変性をどのように証明できるか？
• RQ4 導出された運動方程式と整合する相対論的力学における力の変換の構造はどのようなものか？

主な発見

• 相対論的運動量は、弾性衝突を参照せずに、ミンコフスキー時空におけるニュートンの第二法則から幾何学的に導出された。
• 運動方程式 $\\vec{F} = d\\vec{p}/dt$ は、ミンコフスキー時空の幾何構造と瞬時の静止系におけるニュートンの法則の直接的結果として導出された。
• テンソル形式主義を避ける導出により、得られた相対論的力の法則がローレンツ不変であることが示された。
• 導出された相対論的力学と整合する、力の変換のための新しい手法が導入された。
• 導出により、相対論的運動量と力の法則が、経験的仮定ではなくミンコフスキー時空の幾何的性質の結果であることが確立された。