[論文レビュー] Description of all translation-invariant $p$-adic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

U. A. Rozikov, Otabek Khakimov|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

advanced mathematical theoriesMathematics参考文献 5被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、2階のケイリー木上の$q$状態Potts模型に対して、すべての平行移動不変$p$-進ギブス測度（TIpGMs）を完全に特徴付け、その個数を数え上げる。再帰的境界則解析と$p$-進力学を用いて、TIpGMsが有界であるのは$q \notin p\mathbb{N}$であるときかつそのときに限ることを証明し、$q$、$p$、相互作用パラメータ$\theta$に応じた正確な個数を提示する。$\theta \notin \{1-q, 1+q\}$かつ$q \notin p\mathbb{N}$のとき、最大で$2^q - 1$個の異なる測度が存在する。結果は、従来の実数値の知見を$p$-進設定に一般化する。

ABSTRACT

Recently it was proved that usual (real) Potts model on a Cayley tree has up to $2^q-1$ translation-invariant Gibbs measures. This paper is devoted to description of translation- invariant $p$-adic Gibbs measures (TIpGMs) of the $p$-adic Potts model. In particular, for the Cayley tree of order two we give exact number of such measures. Mereover we give criterion of boundedness of TIpGMs.

研究の動機と目的

• 2階のケイリー木上の$q$状態Potts模型に対して、平行移動不変$p$-進ギブス測度（TIpGMs）の集合を完全に記述すること。
• $q$、$p$、および相互作用パラメータ$\theta$のさまざまな条件の下で、TIpGMsの正確な個数を特定すること。
• $q$および$\theta$の$p$-進ノルムに基づいたTIpGMsの有界性の基準を確立すること。
• 実数値の場合を超えて、$p$-進統計力学における相転移の理解を拡張すること。

提案手法

• 固定点がTIpGMsに対応する境界則（境界場）の木構造的再帰を分析する。
• 境界則ベクトルの非ゼロ成分の個数によって固定点を特徴付ける。
• $p$-進解析、特に$p$-進指数関数および対数関数を用いて収束性と有界性を研究する。
• 正規化定数$Z_n$の$p$-進ノルムを分析するための再帰関係$Z_{n+1,h} = A_{n,h} Z_{n,h}$を適用する。
• $\mathbb{Q}_p$における2次方程式の解の存在を決定するため、$p$-進ヘンゼルの補題と可解条件を適用する。
• 同一のギブス測度を重複して数えないように、モデルの対称性を考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階のケイリー木上の$q$状態Potts模型に対して、平行移動不変$p$-進ギブス測度はいくつ存在し、その数は$q$、$p$、$\theta$にどのように依存するか？
• RQ2 $q$および$\theta$がどのような条件下で、TIpGMsが$p$-進的に有界になるか？
• RQ3 境界則再帰の固定点の正確な構造は何か？ そして、それらは異なるギブス測度とどのように関係するか？
• RQ4 $q \in p\mathbb{N}$か$q \notin p\mathbb{N}$かによって、TIpGMsの個数はどのように変化するか？
• RQ5 $\theta - 1$の$p$-進ノルムは、TIpGMsの存在性および有界性を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• TIpGMsは、$q \notin p\mathbb{N}$であるときかつそのときに限り有界であり、$q \in p\mathbb{N}$のときには正規化定数$Z_n$の$p$-進ノルムが発散することにより示される。
• $q \notin p\mathbb{N}$のとき、ちょうど1つのTIpGMが存在するため、$\mathcal{N}_{TI} = 1$である。
• $q = p > 2$かつ$\theta \notin \{1-q, 1+q\}$のとき、TIpGMsの個数は$\mathcal{N}_{TI} = 2^q - 1$であり、実数の場合と一致する。
• $\theta \in \{1-q, 1+q\}$のとき、TIpGMsの個数は$\mathcal{N}_{TI} = 2^{q-1}$に減少する。
• $q = pn$で$n \in \{2, p-1\}$、$p > 2$のとき、$\theta \notin \{1-q, 1+q\}$の場合は$2\sum_{s=1}^{[n/2]} \binom{pn}{ps}$、$\theta \in \{1-q, 1+q\}$の場合は$\sum_{s=1}^{[n/2]} \binom{pn}{ps}$だけTIpGMsの個数が減少する。
• $p = 2$で$|q|_2 > 1/4$のとき、唯一のTIpGMが存在するため、$\mathcal{N}_{TI} = 1$であり、$q = 4$の場合は、$\mathbb{Q}_2$における2次元平方根の存在に応じて最大15個のTIpGMが存在しうる。