[論文レビュー] Determining F-theory matter via Gromov-Witten invariants

Amir-Kian Kashani-Poor|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ハイツブルシュ面上の楕円曲線ファイバーをもつケーリ＝ヤウ3-foldへのF理論のコン팩ティフィケーションにおける物質内容を特定する手法を開発している。トーリック幾何、グロモフ＝ウィンターインヴァリアント、および鏡像対称性を組み合わせることで、このような幾何におけるモアリ錐を、被約的トーリックな環境空間を用いた近似によって得るアルゴリズムを導入している。近似が滑らかな錐となる場合、それが真のモアリ錐と一致し、物質内容を符号化することが示されている。主な結果は、モアリ錐内の曲線の種数0グロモフ＝ウィンターインヴァリアントを用いて、物質表現を体系的かつ計算可能に同定するフレームワークを提供することである。

ABSTRACT

We show how to use Gromov-Witten invariants to determine the matter content of F-theory compactifications on elliptically fibered Calabi-Yau manifolds $X$ over Hirzebruch surfaces. To determine the representations of these matter multiplets under the gauge algebra $\\mathfrak{g}$, we use toric methods to embed the weight lattice of $\\mathfrak{g}$ into the integer homology lattice of $X$. We then apply mirror symmetry to determine whether classes in this lattice which correspond to weights of given representations are represented by irreducible curves. Applying mirror symmetry efficiently to such geometries requires obtaining good approximations to their Mori cones. We propose an algorithm for obtaining such approximations. When the algorithm yields a smooth cone, we find that the latter in fact coincides with the Mori cone of $X$ and already contains information on the matter content of compactifications on $X$. Our algorithm relies on studying toric ambient spaces for the Calabi-Yau hypersurface $X$ which are merely birationally equivalent to fibrations over Hirzebruch surfaces. We study the flops relating such varieties in detail.

研究の動機と目的

• ハイツブルシュ面 Fn 上の楕円曲線ファイバーをもつケーリ＝ヤウ3-foldへのF理論コンパクト化における物質内容を特定すること。
• ガージ対称性はコーディア分類により容易に得られるが、物質内容は幾何的に抽出するのがより困難であるという課題に対処すること。
• グロモフ＝ウィンターインヴァリアントを用いて、物質表現を体系的かつ計算可能に同定する手法を開発すること。
• 環境空間が Fn 上のファイブレーションとしか同型でない場合でも、トーリック手法を用いて、そのようなケーリ＝ヤウ幾何のモアリ錐を近似するアルゴリズムを構築すること。
• 鏡像対称性を用いて、ガージ表現の重みに対応するホモロジー類が、非可約曲線によって表されるかどうかを同定すること。

提案手法

• トーリック幾何を用いて、ガージ代数 g のルート格子をケーリ＝ヤウ3-fold X のネロン＝セベリ群 N1(X) に埋め込む。
• トーリック手法を用いて、g の重み格子と H2(X, Z) 内の整数ホモロジー類との関係を特定する。
• 鏡像対称性を適用して、特定のホモロジー類が非可約曲線によって表されるかどうかをテストし、それが物質状態に対応することを確認する。
• ハイツブルシュ面 Fn 上のファイブレーションと双有理的に同値な環境空間を用いて、X のモアリ錐を近似するアルゴリズムを提唱する。
• フロップの影響がモアリ錐構造に与える影響を分析し、同一ケーリ＝ヤウ3-fold の異なる双有理モデルを関連付ける。
• ピカード＝フーチュシステムを解き、シンプレクティック基底における周期を特定することで、鏡像対称性を用いて種数0グロモフ＝ウィンターインヴァリアントを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数0グロモフ＝ウィンターインヴァリアントは、ハイツブルシュ面上の楕円曲線ファイバーをもつケーリ＝ヤウ3-fold へのF理論コンパクト化における物質内容をどのように特定できるか？
• RQ2 ガージ代数 g の重み格子とコンパクト化多様体 X の整数ホモロジー格子 H2(X, Z) の間の正確な関係は何か？
• RQ3 双有理的に同値な環境空間からのトーリックデータのみを用いて、そのようなケーリ＝ヤウ幾何のモアリ錐を近似するアルゴリズムを構築可能か？
• RQ4 近似されたモアリ錐が真のモアリ錐と一致する条件は何か？また、物質内容を符号化する条件は何か？
• RQ5 与えられたホモロジー類が非可約曲線によって表され、物質多重項に対応するかどうかを効率的に同定するための鏡像対称性の適用法は何か？

主な発見

• モアリ錐を近似するためのアルゴリズムは、近似が滑らかである場合、真のケーリ＝ヤウ3-fold X のモアリ錐と一致し、その錐は物質内容の完全な情報を含む。
• (E8)12 に対して、タイプ I の唯一の多様体は、12個の生成子を持つ滑らかなトーリックモアリ錐を持ち、表 A.15 に明示的に列挙されている。そのグロモフ＝ウィンターインヴァリアントは物質内容を確認する。
• (F4)n（n=0,…,5）に対しては、2*(5−n) 個の半ハイパーマルチプレットが 26 レプリゼンテーションに属し、対応するグロモフ＝ウィンターインヴァリアントは 2*(5−n)−2 である。
• (G2)n（n=0,…,3）に対しては、2*(7−2n) 個の半ハイパーマルチプレットが 7 レプリゼンテーションに属し、グロモフ＝ウィンターインヴァリアントは 12−4n であり、n=3 で消失する。
• タイプ I の (E7)n 多様体のトーリックモアリ錐生成子は明示的に計算され、表 A.13 に列挙されており、ベース Fn に依存するのは唯一の生成子 C10 に限る。
• すべてのケースにおいて、表現の重みが根である場合、対応するグロモフ＝ウィンターインヴァリアントは 2*(重複度)−2 に等しくなることが確認され、この手法の整合性が裏付けられた。