[論文レビュー] Direct Sum Theorem for Bounded Round Quantum Communication Complexity

Dave Touchette|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全に量子的な情報コストおよび複雑さの定義を採用することで、有界ラウンドの量子通信複雑さにおけるエンタングルメント支援付きの直接和定理を確立する。量子情報複雑さが直接和性質を満たすことを証明し、誤差およびラウンド依存要因を除いて、量子プロトコルをその情報コストに圧縮可能であることを示し、量子情報複雑さが古典的情報複雑さの正しい量子版であることを裏付ける。

ABSTRACT

We prove a direct sum theorem for bounded round entanglement-assisted quantum communication complexity. To do so, we use the fully quantum definition for information cost and complexity that we recently introduced, and use both the fact that information is a lower bound on the communication, and the fact that a direct sum property holds for quantum information complexity. We then give a protocol for compressing a single copy of a protocol down to its quantum information cost, up to terms depending on the number of rounds and the allowed increase in error. Two important tools to derive this protocol are a smooth conditional min-entropy bound for a one-shot quantum state redistribution protocol, and the quantum substate theorem of Jain, Radhakrishnan and Sen (FOCS'02) to transform this bound into a von Neumann conditional entropy bound. This result further establishes the newly introduced notions of quantum information cost and complexity as the correct quantum generalisations of the classical ones in the standard communication complexity setting. Finding such a quantum generalization of information complexity was one of the open problem recently raised by Braverman (STOC'12).

研究の動機と目的

• 最近、Braverman (STOC'12) が強調したように、古典的情報複雑さの量子一般化を同定する未解決問題を解決すること。
• 有界ラウンドのエンタングルメント支援付き量子通信複雑さにおける直接和定理を確立すること。
• 量子情報複雑さが通信量を下界づけ、直接和性質を満たすことを示すこと。
• 誤差およびラウンド依存項を除いて、単一の量子プロトコルをその量子情報コストに圧縮するプロトコルを開発すること。
• 新たに導入された量子情報コストおよび複雑さが、標準的通信複雑さにおける古典的概念の正しい量子一般化であることを検証すること。

提案手法

• 量子通信の文脈に整合する完全に量子的な情報コストおよび複雑さの定義を採用すること。
• 有界ラウンドプロトコルにおいて、量子情報複雑さが通信コストを下界づけるという事実を用いること。
• 1ショット量子状態再分配における滑らかな条件付きミニエントロピーの上限を用いて、プロトコルの圧縮を分析すること。
• 量子部分状態定理 (Jain et al., FOCS'02) を用いて、ミニエントロピーの上限をフォン・ノイマンエントロピーの上限に変換すること。
• 誤差およびラウンド依存項を除いて、単一の量子通信プロトコルをその量子情報コストに圧縮するプロトコルを構築すること。
• 量子情報複雑さの直接和性質を活用して、主要な結果を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界ラウンドのエンタングルメント支援付き量子通信において、量子情報複雑さは直接和性質を満たすか？
• RQ2 誤差およびラウンド依存要因を除いて、単一の量子プロトコルをその量子情報コストに圧縮できるか？
• RQ3 完全に量子的な情報コストおよび複雑さの定義は、古典的情報複雑さの妥当な量子一般化であるか？
• RQ4 滑らかな条件付きミニエントロピーと量子部分状態定理は、量子プロトコルにおける通信コストの上限をどのように導くか？
• RQ5 有界ラウンドの文脈において、量子情報複雑さと通信複雑さの関係は何か？

主な発見

• 有界ラウンドのエンタングルメント支援付き量子通信複雑さにおいて直接和定理が成立し、情報と通信コストの間の根本的な関係を確立する。
• 量子情報複雑さが有界ラウンドプロトコルにおける通信コストを下界づける。これは、古典的関係を量子設定に一般化したものである。
• 誤差およびラウンド依存項を除いて、単一の量子プロトコルをその量子情報コストに圧縮するプロトコルが構築された。
• 1ショット量子状態再分配における滑らかな条件付きミニエントロピーの上限は、圧縮結果を可能にする主要な技術的ツールである。
• 量子部分状態定理を用いて、ミニエントロピーの上限をフォン・ノイマンエントロピーの上限に変換し、情報コストの分析を容易にした。
• 結果として、新たに導入された量子情報コストおよび複雑さが、標準的通信複雑さにおける古典的情報複雑さの正しい量子一般化であることが裏付けられた。