[論文レビュー] Discrete amenable group actions on von Neumann algebras and invariant nuclear C*-subalgebras

Yasuhiko Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、可算離散なアーベル群がMcDuff因子のvon Neumann代数上で行う2つの中心的自由作用が、近似的に内因的同値であるならば、それらは近似的に内因的自己同型により外部同型であることを確立する。主な貢献は、核型C*-代数への一般化されたマスダのねじれ補題の応用であり、核型C*-代数のアーベル性と近似対角を用いて不変中心列を構成し、弱Rohlin型条件の下で同型結果を証明する。

ABSTRACT

Let $G$ be a countable discrete amenable group, ${\cal M}$ a McDuff factor von Neumann algebra, and $A$ a separable nuclear weakly dense C$^*$-subalgebra of ${\cal M}$. We show that if two centrally free actions of $G$ on ${\cal M}$ differ up to approximately inner automorphisms then they are outer conjugate by an approximately inner automorphism, in the operator norm topology, which makes $A$ invariant. In addition, when $A$ is unital, simple, and with a unique tracial state and $α$ is an automorphism of $A$ we also show that the aperiodicity of $α$ on the von Neumann algebra is equivalent to the weak Rohlin property.

研究の動機と目的

• von Neumann代数上のアーベル群作用のマスダの分類理論を、核型C*-代数の文脈に拡張すること。
• 近似的に内因的同値である場合に、McDuff因子上の中心的自由作用が外部同型であることを確立すること。
• 核型C*-代数の文脈において、von Neumann代数上の自己同型の非周期性を弱Rohlin性質を用いて特徴付けること。
• 不変核型C*-部分代数が外部同型により近似的に内因的自己同型を介して保存されることを示すこと。

提案手法

• ジョンソンの枠組みから、ハイガープの核型C*-代数のアーベル性定理を用いて近似対角を構成する。
• 作用素ノルム位相においてエヴァンズ＝キシモトのねじれ補題を適用し、von Neumann代数上の群作用を比較する。
• 近似対角とカプランスキーの密度定理を用いて、作用素ノルムの意味で中心列を構成する。
• 双対空間上のノルム位相における列の収束を確立し、自己同型の強い収束を保証する。
• σ-弱位相におけるユニタリ近似を用いて、von Neumann代数からC*-部分代数へのユニタリの持ち上げを行う。
• 1次コhomologyの消滅を適用してコサイクルを変更し、恒等写像に近づける。これによりC*-部分代数の不変性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算離散なアーベル群がMcDuff因子上で行う2つの中心的自由作用が、どのような条件下で外部同型であるか。
• RQ2 エヴァンズ＝キシモトのねじれ補題は、単射von Neumann代数から核型C*-代数へと適応可能か。
• RQ3 von Neumann代数上の自己同型の非周期性は、核型C*-部分代数に制限した場合、弱Rohlin性質と同値か。
• RQ4 近似的に内因的自己同型を用いて、与えられた核型C*-部分代数を不変に保ちながら群作用を同型化できるか。

主な発見

• 可算離散なアーベル群がMcDuff因子上で行う2つの中心的自由作用が、近似的に内因的同値であるならば、それらは近似的に内因的自己同型により外部同型である。
• 作用を不変にする分離的核型弱密なC*-部分代数が存在する場合、作用素ノルム位相におけるユニタリ近似を構成可能である。
• C*-代数が単位的、単純かつ一意なトレースをもつ場合、von Neumann代数上の自己同型の非周期性は、弱Rohlin性質と同値である。
• 近似対角によるねじれ補題は、双対空間上のノルム位相における列の収束を保証し、自己同型の強い収束を可能にする。
• 結果として得られる同型化自己同型は核型C*-部分代数を不変に保ち、関連するコサイクルは1次コhomologyの消滅により恒等写像に近づけられる。
• 系3.5では、単位的、単純、核型で一意なトレースをもつC*-代数上で定義された2つの非周期的自己同型が、外部自己同型により同型であることが示されている。