[論文レビュー] Dividing Bads is Harder than Dividing Goods: On the Complexity of Fair and Efficient Division of Chores

Bhaskar Ray Chaudhury, Jugal Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2020

Economic theories and models参考文献 41被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、線形の不満度関数下での公平かつ効率的な仕事割り当ての計算複雑性を調査し、どのエージェントにも極めて嫌いな仕事の割り当てがない競争均衡を求めることが強いNP困難であることを示している。さらに、存在のための単純な十分条件のもとでも、そのような均衡を計算することはPPAD困難であることを証明しており、これは物の分配における扱いやすいケースと顕著な対比を示している。

ABSTRACT

We study the chore division problem where a set of agents needs to divide a set of chores (bads) among themselves fairly and efficiently. We assume that agents have linear disutility (cost) functions. Like for the case of goods, competitive division is known to be arguably the best mechanism for the bads as well. However, unlike goods, there are multiple competitive divisions with very different disutility value profiles in bads. Although all competitive divisions satisfy the standard notions of fairness and efficiency, some divisions are significantly fairer and efficient than the others. This raises two important natural questions: Does there exist a competitive division in which no agent is assigned a chore that she hugely dislikes? Are there simple sufficient conditions for the existence and polynomial-time algorithms assuming them? We investigate both these questions in this paper. We show that the first problem is strongly NP-hard. Further, we derive a simple sufficient condition for the existence, and we show that finding a competitive division is PPAD-hard assuming the condition. These results are in sharp contrast to the case of goods where both problems are strongly polynomial-time solvable. To the best of our knowledge, these are the first hardness results for the chore division problem, and, in fact, for any economic model under linear preferences.

研究の動機と目的

• どのエージェントにも極めて嫌いな仕事の割り当てがない競争的割り当てが存在するかを特定すること。
• そのような公平で効率的な割り当てが存在するための単純な十分条件を同定すること。
• これらの条件下での競争均衡を求める計算複雑性を分析すること。
• 物の分配のよりよく理解されたケースと比較し、類似の問題が多項式時間で解けるのに対し、仕事割り当て問題ではそうではないこと。
• 線形選好下での仕事割り当てにおける基礎的な困難性結果を確立すること。これは、計算経済学においてこれまで未解決であった分野である。

提案手法

• 既知のPPAD困難性結果を活用して、問題を正規化された多行列ゲームに還元する。
• 多行列ゲームのインスタンスを、特定の十分条件を満たす仕事割り当てインスタンスに還元する。
• 価格規制と比の拡大特性を用いて、均衡価格の構造的制約を強制する。
• 固定収益および価格等価性の補題を適用し、エージェントの収益と仕事の価格の境界を導出する。
• 価格比に基づく背理的議論を用いて、均衡制約下で特定の割り当てが不可能であることを示す。
• 価格と収益の不等式を用いて、あるエージェントの仕事に対する不満度が高すぎる場合には、均衡条件下でその割り当てはゼロでなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのエージェントにも極めて嫌いな仕事の割り当てがない競争的仕事割り当てを求めるのは、計算的に困難であるか？
• RQ2 そのような競争的割り当てが存在するための単純な十分条件はあるか？ また、そのような割り当ては効率的に計算可能か？
• RQ3 線形選好下での物の分配と比較して、仕事割り当ての複雑性はどう異なるか？
• RQ4 不満度が有界な競争均衡の存在は、多項式時間で決定可能か？
• RQ5 経済の構造的性質（例：価格比、初期資産）は、均衡において嫌いな仕事の割り当てを回避するためにどのような制約を課えるか？

主な発見

• どのエージェントにも不満度が閾値τを超える仕事の割り当てがない競争的割り当てを求める問題は、強力なNP困難である。これはCEEI設定でも同様に成り立つ。
• 存在のための単純な十分条件のもとでも、競争的割り当てを計算することはPPAD困難のままであり、これは本質的な計算困難性を示している。
• これらの困難性結果は、物の分配のケースとは顕著に対比され、物の分配では両問題とも強多項式時間で解ける。
• 著者らは、線形選好下での仕事割り当てにおける最初の既知の困難性結果を確立し、線形選好を持つ任意の経済モデルに対しても同様に成立する。
• 正規化された多行列ゲームから仕事割り当てへの還元は、経済が自然な十分条件を満たす場合でもPPAD困難性を示す。
• 証明は、構造的制約を通じて価格比を強制することに依拠しており、価格比が特定の境界を満たさない場合には、高不満度の仕事は割り当てられないと示している。