[論文レビュー] Dynamical R Matrices of Elliptic Quantum Groups and Connection Matrices for the q-KZ Equations

Hitoshi Konno|SHILAP Revista de lepidopterología|Dec 19, 2006

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、面型楕円量子群 $\mathcal{B}_{q,\lambda}(\mathfrak{g})$ の普遍動的 $R$ 行列と $U_q(\mathfrak{g})$ の $q$-KZ 方程式の接続行列の間の直接的な対応関係を確立し、Frenkel と Reshetikhin の予想を裏付ける。$\mathfrak{g} = A_n^{(1)}, B_n^{(1)}, C_n^{(1)}, D_n^{(1)}$ の場合、$\mathcal{R}(\lambda)$ のベクトル表現が、ちょうど Jimbo-Miwa-Okado の面型重み関数に一致することを証明し、楕円量子群と楕円面模型を統一する。

ABSTRACT

For any affine Lie algebra ${\mathfrak g}$, we show that any finite dimensional representation of the universal dynamical $R$ matrix ${\cal R}(λ)$ of the elliptic quantum group ${\cal B}_{q,λ}({\mathfrak g})$ coincides with a corresponding connection matrix for the solutions of the $q$-KZ equation associated with $U_q({\mathfrak g})$. This provides a general connection between ${\cal B}_{q,λ}({\mathfrak g})$ and the elliptic face (IRF or SOS) models. In particular, we construct vector representations of ${\cal R}(λ)$ for ${\mathfrak g}=A_n^{(1)}$, $B_n^{(1)}$, $C_n^{(1)}$, $D_n^{(1)}$, and show that they coincide with the face weights derived by Jimbo, Miwa and Okado. We hence confirm the conjecture by Frenkel and Reshetikhin.

研究の動機と目的

• 面型楕円量子群 $\mathcal{B}_{q,\lambda}(\mathfrak{g})$ と $U_q(\mathfrak{g})$ の $q$-KZ 方程式との間の一般的関係を確立すること。
• Frenkel と Reshetikhin の予想を検証すること：$q$-KZ 方程式の接続行列が、Jimbo-Miwa-Okado の楕円面重み関数を導くこと。
• $\mathfrak{g} = A_n^{(1)}, B_n^{(1)}, C_n^{(1)}, D_n^{(1)}$ に対して、普遍動的 $R$ 行列の明示的ベクトル表現を構成すること。
• これらの表現が既知の楕円面重み関数と一致することを示し、量子群の準ホップ変形と可積分格子模型を結びつけること。

提案手法

• twistor 演算子がシフトされたコサイクル条件を満たすことを用いて、$U_q(\mathfrak{g})$ の準ホップ変形による $\mathcal{B}_{q,\lambda}(\mathfrak{g})$ の普遍動的 $R$ 行列 $\mathcal{R}(\lambda)$ を導出する。
• $U_q(\mathfrak{g})$ の $q$-KZ 方程式を分析し、その接続行列が面型ヤン・バクスター方程式の解であることを特定する。
• 相互作用性の性質と表現論を用いて、$\widetilde{\Psi}(z_1, z_2)$ の行列要素を二通りの方法で評価する：$\mathcal{U} = q^{-2\rho}\mathcal{Z}$ と $\mathcal{U} = \sum_j b_j S^{-1}(a_j)$ を用いる。
• Drinfel'd のねじれ形式を用いて、$u_\nu^*$ と $u_\lambda$ を含む期待値を通じて、普遍 $R$ 行列と $q$-KZ 接続行列を関係づける。重みおよび余チャージ射影を用いる。
• $\widetilde{\Psi}^\nu_\mu(z)$ 演算子とその $\widetilde{p}$-ねじれ変換性を用いて、重要な恒等式 (3.11) を導出する。
• 二通りの評価方法の整合性を検証し、接続行列がベクトル表現における動的 $R$ 行列に一致することを特定する。

Figure 1: Two relevant equations ( $\mu\not=\pm\nu$ ).

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 面型楕円量子群 $\mathcal{B}_{q,\lambda}(\mathfrak{g})$ の普遍動的 $R$ 行列は、$U_q(\mathfrak{g})$ の $q$-KZ 方程式の接続行列に対応するか？
• RQ2 $\mathfrak{g} = A_n^{(1)}, B_n^{(1)}, C_n^{(1)}, D_n^{(1)}$ の場合、$\mathcal{R}(\lambda)$ のベクトル表現は、Jimbo-Miwa-Okado の楕円面重み関数と一致するか？
• RQ3 表現論を用いて、$q$-KZ 方程式の接続行列が面型ヤン・バクスター方程式の楕円的解であることが示せるか？
• RQ4 準ホップ変形された $U_q(\mathfrak{g})$ と既知の可積分格子模型との間の一般的メカニズムは、$q$-KZ 接続行列を通じて存在するか？

主な発見

• 任意の有限次元表現における $\mathcal{B}_{q,\lambda}(\mathfrak{g})$ の普遍動的 $R$ 行列は、$U_q(\mathfrak{g})$ の $q$-KZ 方程式の接続行列と等価であり、一般的な対応関係を確立する。
• $\mathfrak{g} = A_n^{(1)}, B_n^{(1)}, C_n^{(1)}, D_n^{(1)}$ の場合、$\mathcal{R}(\lambda)$ のベクトル表現を明示的に構成し、Jimbo-Miwa-Okado の面重み関数と一致することを示した。
• $q$-KZ 方程式の接続行列が、面型ヤン・バクスター方程式の楕円的解であることが確認され、Frenkel と Reshetikhin の予想が裏付けられた。
• $\widetilde{\Psi}(z_1, z_2)$ の二通りの評価方法の整合性から、恒等式 (3.11) が得られ、動的 $R$ 行列と $q$-KZ 接続行列の等価性が確認された。
• 結果として、twistor 演算子による $U_q(\mathfrak{g})$ の準ホップ変形が、正しい楕円面重み関数を生成することが確認され、楕円可積分模型を統一する代数的枠組みが得られた。
• 直接 $q$-KZ 方程式を解く必要なく、$\mathcal{R}(\lambda)$ の表現が接続行列構造と本質的に関連していることが示された。