[論文レビュー] Enhancing accuracy for solving American CEV model with high-order compact scheme and adaptive time stepping

Chinonso Nwankwo, Weizhong Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2023

Differential Equations and Numerical MethodsMathematics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アメリカン・オプションの非線形かつ結合された偏微分方程式系を、定常価格弾力性（CEV）モデルに従って解くために、高次のコンパクト有限差分スキームに適応的時間刻み幅制御と局所メッシュの細分化を組み合わせた手法を提案する。4次精度の解析的近似を用いた早期行使境界の近似と、非一様4次コンパクトスキーム、5(4) Dormand-Prince時間積分法を組み合わせることで、粗いグリッド上でも高い精度を達成し、計算コストを顕著に削減するとともに、Crank-Nicholson や人工境界アプローチといった既存手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

In this research work, we propose a high-order time adapted scheme for pricing a coupled system of fixed-free boundary constant elasticity of variance (CEV) model on both equidistant and locally refined space-grid. The performance of our method is substantially enhanced to improve irregularities in the model which are both inherent and induced. Furthermore, the system of coupled PDEs is strongly nonlinear and involves several time-dependent coefficients that include the first-order derivative of the early exercise boundary. These coefficients are approximated from a fourth-order analytical approximation which is derived using a regularized square-root function. The semi-discrete equation for the option value and delta sensitivity is obtained from a non-uniform fourth-order compact finite difference scheme. Fifth-order 5(4) Dormand-Prince time integration method is used to solve the coupled system of discrete equations. Enhancing the performance of our proposed method with local mesh refinement and adaptive strategies enables us to obtain highly accurate solution with very coarse space grids, hence reducing computational runtime substantially. We further verify the performance of our methodology as compared with some of the well-known and better-performing existing methods.

研究の動機と目的

• アメリカン・CEVモデルにおける強い非線形性と時間依存係数、特に移動する自由境界とその微分が引き起こす数値的課題に対処すること。
• CEVフレームワーク下でのオプション価格とデルタ感応度を記述する結合された偏微分方程式系の解の精度と効率を向上させること。
• 局所メッシュの細分化と適応的時間刻み幅制御を用いて、粗い空間グリッドでも高精度を達成できるようにすることで、計算実行時間を短縮すること。
• レジームスイッチングやローカルボラティリティモデルへの応用を想定した、複雑な自由境界偏微分方程式を解くための堅牢で拡張可能な数値フレームワークを提供すること。

提案手法

• オプション価格とデルタ感応度の偏微分方程式の半離散化空間差分法に、非一様4次コンパクト有限差分スキームを適用する。
• 最適行使境界は、正則化された平方根関数から導出された4次精度の解析的近似を用いて近似され、境界の追跡性が向上する。
• 適応的時間積分には、5(4) Dormand-Prince埋め込みペアを用い、局所誤差を制御するためにステップサイズを動的に調整する。
• 勾配が急な領域、特に早期行使境界付近に局所メッシュの細分化を適用し、必要に応じた解像度を向上させる。
• 解の安定化と異なる価格弾力性パラメータ $ \alpha $ における収束性の向上を図るため、$ x = \ln(S / s_f(\tau)) $ を用いた領域変換を実施する。
• 境界とオプション価格を反復的結合により同時に計算する固定自由境界問題としてシステムを解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的時間刻み幅制御を施した高次コンパクト有限差分スキームは、標準的な有限差分法や境界法と比較して、アメリカン・CEVモデルにおいて優れた精度と効率を達成できるか？
• RQ2 移動する自由境界を伴うCEVモデルを解く際、局所メッシュの細分化が精度と計算コストに与える影響はいかほどか？
• RQ3 5(4) Dormand-Prince法における誤差許容値 $ \epsilon $ と制御パラメータ $ \rho $ の選択が、解の精度と安定性に与える影響はどの程度か？
• RQ4 早期行使境界の4次精度解析的近似は、計算複雑性を増加させることなく、数値解の精度を顕著に向上させられるか？
• RQ5 提案手法は、非常に粗い空間グリッド上でも高精度を維持できるか。その結果、レジームスイッチングオプションなど高次元オプションプライシング問題への応用が可能になるか？

主な発見

• 提案手法は、空間ステップサイズを大きくしても、Crank-Nicholson法、Lee [26] の手法、WongとZhao [52] の人工境界法と同等またはそれ以上の精度を達成する。
• $ \alpha = -1 $、$ K/S_0 = 35/40 $、$ h = 0.03 $ の場合、DCSLスキームはオプション価格を 4.0408 として計算し、他の手法の基準値とよく一致する。
• 解は誤差許容値 $ \epsilon $ に極めて敏感であり、$ \epsilon $ を $ 10^{-4} $ から $ 10^{-6} $ に減少させることで精度が顕著に向上するが、$ \rho $ の変更にはほとんど影響を受けない。
• 適応的時間刻み幅制御により、特に $ |\alpha| $ が大きい場合、より高い剛性を示すため、必要な時間ステップ数が削減される。
• コンパクトスキームのステアッキング実装により、均一グリッドスキームと比較して粗いグリッド上でも精度が向上し、空間複雑度も低減される。
• 非常に粗いグリッド上でも高精度を維持できるため、レジームスイッチングオプションなど高次元問題への応用に強く期待できる。