[論文レビュー] Equivariant Modular Categories via Dijkgraaf-Witten Theory

Jennifer Maier, Thomas Nikolaus+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限群 $J$ が有限群 $G$ に弱作用をもつ Dijkgraaf-Witten 理論を用いて、$J$-不変なモジュラー tensor 種別を構成する。$J$-リボン代数としての同調的 Drinfel'd ダブルを導入し、標準的な Drinfel'd ダブルを一般化し、得られる種別がモジュラーで自然な $J$-作用を持つことを示し、同調的トポロジカル量子場理論のカテゴリカルな軌道の正方形を完成させる。

ABSTRACT

Based on a weak action of a finite group J on a finite group G, we present a geometric construction of J-equivariant Dijkgraaf-Witten theory as an extended topological field theory. The construction yields an explicitly accessible class of equivariant modular tensor categories. For the action of a group J on a group G, the category is described as the representation category of a J-ribbon algebra that generalizes the Drinfel'd double of the finite group G.

研究の動機と目的

• 有限群 $J$ の弱作用を用いて、$J$-不変な拡張トポロジカル量子場理論の幾何的実現を構成すること。
• 有限群作用から生じる同調的モジュラー tensor 種別の明示的クラスを提供すること。
• 群作用を $J$-リボン代数を介して組み込むことで、Drinfel'd ダブルの構成を一般化すること。
• $J$-不変種別におけるモジュラー化が標準的 Drinfel'd ダブルを与えることを示し、カテゴリカルな軌道の正方形を完成させること。
• 特性理論と 2-線形化を介して、ねじれたバンドル、作用群作用、モジュラー種別との関係を確立すること。

提案手法

• 有限群 $J$ の有限群 $G$ への弱作用を用いて、拡張 TFT としての $J$-不変 Dijkgraaf-Witten 理論を定義する。
• $\mathbb{K}[G]$ 上の $J$-リボン代数としての同調的 Drinfel'd ダブルを構成し、標準的 Drinfel'd ダブル $\mathcal{D}(G)$ を一般化する。
• 作用群作用 $M//G$ におけるスパンの 2-線形化を用いて、表現の種別をモジュラー種別として実現する。
• $G$-不変な $M \times G$ 上の関数によるねじれたバンドルのコhomological 述語を適用する。
• 作用群作用の特性理論を用い、直交性関係と一般化された Burnside の定理を含む、既約表現を分類する。
• $\mathcal{B}(G\triangleleft H)$-mod のモジュラー化が、$J=H/G$ の正則表現に沿った誘導により $\mathcal{D}(G)$-mod と同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 $J$ の弱作用を用いて、$J$-不変モジュラー tensor 種別を幾何的にどのように構成できるか？
• RQ2 同調的 Drinfel'd ダブルが $J$-リボン代数としての構造をどのように持ち、標準的 Drinfel'd ダブルをどのように一般化するか？
• RQ3 $G \triangleleft H$ の正規部分群の包含から生じる前モジュラー種別を、$J=H/G$ を用いて $J$-不変モジュラー種別として実現できるか？
• RQ4 同調的理論におけるねじれたセクターと結合則は、インertie 群作用 $\Lambda(M//G)$ と $A = \{(m,g) \mid g.m = m\}$ 上の $G$-軌道とどのように関係するか？
• RQ5 $J$ の正則表現が、同調的種別からモジュラー種別を誘導する役割を果たす仕組みは何か？また、これはどのように軌道構成に関連するか？

主な発見

• 同調的 Dijkgraaf-Witten 理論は、同調的 Drinfel'd ダブルの表現種別と同値である $J$-不変モジュラー tensor 種別を与える。
• 作用群作用 $M//G$ の既約表現の数は、インエリティ群作用 $\Lambda(M//G)$ の同型型の対象数に等しく、すなわち $|I| = |\mathrm{Iso}(\Lambda(M//G))|$ である。
• 作用群作用 $M//G$ の正則表現の特性は $\chi_H(m,g) = \delta(g,1)\cdot|G|$ で与えられ、各既約表現はその次元に等しい重複度をもつ。
• $\mathcal{B}(G\triangleleft H)$-mod は前モジュラーであり、モジュラー化可能であり、$J=H/G$ の正則表現に沿った誘導により $\mathcal{D}(G)$-mod と同値である。
• 作用群作用 $M//G$ の既約特性は、双線形形式 $\langle f,f'\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g,m} f(m,g^{-1})f'(m,g)$ における共役関数空間の正規直交基底をなす。
• 一般化された Burnside の定理が成り立つ：$\sum_{i\in I} |d_i|^2 = |M||G|$ であり、ここで $d_i = \dim V_i$ は $M//G$ の単純表現 $V_i$ の次元である。