[論文レビュー] Equivariant symplectic homology and multiple closed Reeb orbits

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$S^1$-等長なシンプレクティックホモロジーとコンリー・ツェンダー指数反復公式を用いて、特定の接触多様体上に複数の閉じたリーブ軌道が存在することを確立する。非退化な接触多様体で、凸的無限遠で、第一チャーン類が自明なシンプレクティック多様体に、可 displacing な正確な接触埋め込みを持つものについては、ホモロジー的条件下で、少なくとも2つの可縮約可能な閉じたリーブ軌道が存在することを証明し、3次元および5次元の場合に一般化して、ベッチ数に基づく定量的下界を与える。

ABSTRACT

We study the existence of multiple closed Reeb orbits on some contact manifolds by means of $S^1$-equivariant symplectic homology and the index iteration formula. It is proved that a certain class of contact manifolds which admit displaceable exact contact embeddings, a certain class of prequantization bundles, and Brieskorn spheres have multiple closed Reeb orbits.

研究の動機と目的

• 可 displacing な正確な接触埋め込みを持つ接触多様体上に複数の閉じたリーブ軌道が存在することを確立すること。
• 等長なシンプレクティックホモロジーを用いて、3次元接触多様体を超えた高次元への多重性結果を拡張すること。
• 埋め込み領域のベッチ数に基づいて、閉じたリーブ軌道の数の定量的下界を提供すること。
• 部分的サブクリティカルなウェインシュタイン可埋め込み接触多様体が常に少なくとも2つの閉じたリーブ軌道を持つのかを調査すること。
• この方法がプリクアンタイズーションバンドルやブリースコルン球面への適用可能性を検討すること。

提案手法

• 接触多様体のトポロジーとその埋め込みを分析するために、$S^1$-等長なシンプレクティックホモロジーを用いる。
• リーブ軌道の多重被覆の挙動を調べるために、コンリー・ツェンダー指数反復公式を適用する。
• 特に、$H_*(W_0, \Sigma; \mathbb{Q})$ をある次数でホモロジー的条件として用い、非自明なホモロジー類を導出する。
• 等長ホモロジー計算と整合性を保つために、$c_1(W)|_{\pi_2(W)} = 0$ の条件を課す。
• 接触形式 $\alpha - \lambda|_\Sigma$ が正確であるという事実を用い、$W$ 上のシンプレクティック構造と関連づけ、ハミルトニアン力学の適用を可能にする。
• 楕円的、双曲的、非楕円的非双曲的軌道のコンリー・ツェンダー指数の増大を分析し、単一の単純軌道の仮定のもとで矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての非退化な部分的サブクリティカルなウェインシュタイン可埋め込み接触多様体は、少なくとも2つの閉じたリーブ軌道を持つのか？
• RQ2 S^1-等長なシンプレクティックホモロジーと指数反復の方法は、3次元を超える高次元接触多様体においても、複数の閉じたリーブ軌道を検出できるのか？
• RQ3 埋め込み領域 $W_0$ に対して、複数の閉じたリーブ軌道を保証する最小のホモロジー的条件は何か？
• RQ4 可 displacing な正確な接触埋め込みを持つ接触多様体が、2つより多くの閉じたリーブ軌道を持つ一般条件は何か？
• RQ5 埋め込み領域のベッチ数は、接触境界における閉じたリーブ軌道の数とどのように関係するか？

主な発見

• 3次元の閉じた接触多様体で、凸的無限遠で、$c_1(W)|_{\pi_2(W)} = 0$ であるシンプレクティック多様体に、可 displacing な正確な接触埋め込みを持つ場合、可縮約可能な閉じたリーブ軌道の数は、少なくとも $b_3(W_0, \Sigma; \mathbb{Q}) + 2$ 個以上である。
• 3次元の場合、$W$ が部分的サブクリティカルなウェインシュタインであれば、$b_2(\Sigma; \mathbb{Q}) + 2$ 個以上の閉じたリーブ軌道が存在する。
• 5次元接触多様体で、$b_2(W_0, \Sigma; \mathbb{Q}) = 1$ かつ $b_4(W_0, \Sigma; \mathbb{Q}) \geq 4$ である場合、$W$ 内で可縮約可能な少なくとも2つの閉じたリーブ軌道が存在する。
• 3次元の場合、$b_3(W_0, \Sigma; \mathbb{Q})$ 個の単純な閉じたリーブ軌道のコンリー・ツェンダー指数は、正確に2である。
• 単一の単純な閉じたリーブ軌道の仮定は、3次元および5次元の両方の状況で、指数反復公式における無理数的制約により矛盾を引き起こす。
• この方法は、有理数ホモロジー球面、$\pi_1$-インジェクティブな可埋め込み5次元多様体、および部分的サブクリティカルなウェインシュタイン可埋め込み7次元多様体に適用可能であり、これらはすべて定理Aの条件(ii)を満たす。