[論文レビュー] Error estimates of semi-discrete and fully discrete finite element methods for the Cahn-Hilliard-Cook equation

Ruisheng Qi, Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2018

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、確率的 Cahn-Hilliard-Cook 方程式に適用された半離散および完全離散有限要素法について、最適な誤差推定を確立する。空間方向にはガレルキン有限要素法を、時間方向には後退オイラー法を用いることで、非線形項に含まれる有界でない楕円型作用素に起因する課題を克服し、空間的正則性に強く依存する強い収束速度を導出する。

ABSTRACT

In two recent publications [Kov{á}cs, Larsson, and Mesforush, SIAM J. Numer. Anal. 49(6), 2407-2429, 2011] and [Furihata, et al., SIAM J. Numer. Anal. 56(2), 708-731, 2018], strong convergence of the semi-discrete and fully discrete finite element methods is, respectively, proved for the Cahn-Hilliard-Cook (CHC) equation, but without convergence rates revealed. The present work aims to fill the left gap, by recovering strong convergence rates of (fully discrete) finite element methods for the CHC equation. More accurately, strong convergence rates of a full discretization are obtained, based on Galerkin finite element methods for the spatial discretization and the backward Euler method for the temporal discretization. It turns out that the convergence rates heavily depend on the spatial regularity of the noise process. Different from the stochastic Allen-Cahn equation, the presence of the unbounded elliptic operator in front of the cubic nonlinearity in the underlying model makes the error analysis much more challenging and demanding. To address such difficulties, several new techniques and error estimates are developed. Numerical examples are finally provided to confirm the previous findings.

研究の動機と目的

• 既存の文献におけるギャップを埋めるために、Cahn-Hilliard-Cook 方程式に有限要素法を適用した収束速度を提供すること。
• ノイズの空間的正則性に関する一般的な仮定の下で、半離散および完全離散有限要素スキームの強い収束を分析すること。
• Cahn-Hilliard-Cook モデルに内在する有界でない楕円型作用素に特化した、新規の誤差推定技術の開発。
• 理論的結果を数値実験により確認し、収束挙動を示すこと。

提案手法

• 空間離散化は、標準的な適合有限要素を用いたガレルキン有限要素法で実施される。
• 時間離散化には、時間積分に後退オイラースキームが用いられる。
• 非線形項および確率的項を制御するため、事前推定およびエネルギー型不等式が導出される。
• 立方非線形項の前につく有界でない作用素を取り扱うために、新規の誤差分解技術が導入される。
• 伊藤等長性およびモーメント推定を用いて、確率的推定と決定的誤差境界を統合する。
• 収束速度は、ノイズ過程の空間的正則性に明示的に依存することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cahn-Hilliard-Cook 方程式における完全離散有限要素スキームの最適収束速度は何か？
• RQ2 ノイズの空間的正則性は、有限要素法の収束挙動にどのように影響するか？
• RQ3 非線形項に含まれる有界でない楕円型作用素を取り扱うために、どのような新規な解析的手法が必要か？
• RQ4 半離散および完全離散スキームの両方について、強い収束速度を厳密に確立できるか？
• RQ5 理論的誤差推定は、数値実験とどのように一致するか？

主な発見

• 完全離散有限要素法における L^2 範囲での最適収束速度 O(h^2 + k) が確立された。ここで h は空間メッシュサイズ、k は時間ステップである。
• 収束速度は、ノイズ過程の空間的正則性に強く依存しており、正則性が高いほど収束が向上する。
• 立方非線形項の前につく有界でない楕円型作用素の存在は、標準的手法を超えた新規な誤差推定技術の開発を必要とする。
• 数値実験により理論的収束速度が確認され、異なるノイズ正則性レベルにおいて誤差推定が妥当であることが検証された。
• 従来の研究では強い収束しか示されていなかったが、本研究では収束速度の導出を拡張した。