[論文レビュー] Euclidean and Hermitian LCD MDS codes

Claude Carlet, Sihem Mesnager+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$q > 3$ における $q$-元ユークリッド LCD MDS コードの存在問題を完全に解決し、すべての $0 \leq k \leq n \leq q+1$ および $q = 2^m$、$n = q+2$、$k = 3$ または $q-1$ に対してその存在を証明している。さらに、一般化されたリード・ソロモン符号、自己直交符号、構造化された生成行列を用いて、新たなヘルミート LCD MDS コードを構成し、$k$ と $q$ に特定の条件を課した下で $[2k,k]$、$[2k+1,k]$、$[2k+2,k]$ コードの存在を確立している。主な貢献は、ユークリッド LCD MDS コードの完全な特徴付けと、ヘルミート LCD MDS コードの新たな構成である。

ABSTRACT

Linear codes with complementary duals (abbreviated LCD) are linear codes whose intersection with their dual is trivial. When they are binary, they play an important role in armoring implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. Non-binary LCD codes in characteristic 2 can be transformed into binary LCD codes by expansion. On the other hand, being optimal codes, maximum distance separable codes (abbreviated MDS) have been of much interest from many researchers due to their theoretical significant and practical implications. However, little work has been done on LCD MDS codes. In particular, determining the existence of $q$-ary $[n,k]$ LCD MDS codes for various lengths $n$ and dimensions $k$ is a basic and interesting problem. In this paper, we firstly study the problem of the existence of $q$-ary $[n,k]$ LCD MDS codes and completely solve it for the Euclidean case. More specifically, we show that for $q>3$ there exists a $q$-ary $[n,k]$ Euclidean LCD MDS code, where $0\le k \le n\le q+1$, or, $q=2^{m}$, $n=q+2$ and $k= 3 ext{or} q-1$. Secondly, we investigate several constructions of new Euclidean and Hermitian LCD MDS codes. Our main techniques in constructing Euclidean and Hermitian LCD MDS codes use some linear codes with small dimension or codimension, self-orthogonal codes and generalized Reed-Solomon codes.

研究の動機と目的

• すべての $q > 3$ および $0 \leq k \leq n \leq q+1$ に対して、$q$-元ユークリッド LCD MDS コードの存在を特定すること。
• 構造化された生成行列と単位根の性質を用いて、$\mathbb{F}_{q^2}$ 上の新たなクラスのヘルミート LCD MDS コードを構成すること。
• $q$-元ユークリッド LCD MDS コードの完全な特徴付けを提供し、最適 LCD コードに関する文献における重要な空白を埋めること。
• 一般化されたリード・ソロモン符号、自己直交符号、および次元または余次元が小さい線形符号を組み合わせることで、LCD コードの理論を拡張すること。

提案手法

• 文字和とトレース直交性を用いた双対交差の分析を通じて、一般化されたリード・ソロモン符号を用いて $q$-元ユークリッド LCD MDS コードを構成する。
• $G(\alpha) = [A_1 : \alpha A_\gamma]$ の形をした生成行列を用い、$A_1$ および $A_\gamma$ を $\mathbb{F}_{q^2}$ 上のバーデルモンド行列とする。これにより、非退化的なヘルミート内積が保証される。
• $k \mid (q^2 - 1)$、$k \not\mid (q+1)$、および $k < q^2 - 1$ の条件を適用し、行列 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ の正則性を保証する。
• $i + qj \equiv 0 \pmod{k}$ のとき、$b(i,j) \neq 0$ であることを示すことにより、ヘルミートグラム行列 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ の正則性を証明する。
• $[2k,k]$ コードの生成行列に標準基底ベクトル $e_0$ および $e_{k-1}$ を追加することで、$[2k+1,k]$ および $[2k+2,k]$ ヘルミート LCD MDS コードを構成する。
• $\beta \overline{\beta} \neq -(1 - \gamma^{-(q+1)})k$ を満たす $\beta \in \mathbb{F}_{q^2}^\times$ が存在することを用いて、拡張されたコードが依然として LCD であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q > 3$ のとき、パラメータ $n$ と $k$ に対して $q$-元ユークリッド LCD MDS コードが存在するのはどのような場合か？
• RQ2 $n \leq q^2 + 1$ のとき、$q^2$-元ヘリューミート LCD MDS コードの存在が完全に特徴付けられるか？
• RQ3 $k$ と $q$ にどのような条件を課すと、$\mathbb{F}_{q^2}$ 上の $[2k,k]$、$[2k+1,k]$、$[2k+2,k]$ ヘルミート LCD MDS コードが存在するか？
• RQ4 一般化されたリード・ソロモン符号と自己直交符号をどのように組み合わせて、新たな LCD MDS コードを構成できるか？
• RQ5 与えられた代数的制約のもとで、ヘルミート内積行列 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ は正則か？

主な発見

• すべての $0 \leq k \leq n \leq q+1$ に対して、$q > 3$ のとき $q$-元 $[n,k]$ ユークリッド LCD MDS コードが存在する。
• $q = 2^m$ のとき、$n = q+2$ かつ $k = 3$ または $k = q-1$ の場合に、$q$-元 $[n,k]$ ユークリッド LCD MDS コードが存在する。
• 奇数の $q$ に対して、$k \mid (q^2 - 1)$、$k \not\mid (q+1)$、$k < q^2 - 1$ を満たすとき、$\mathbb{F}_{q^2}$ 上で $[2k,k]$、$[2k+1,k]$、$[2k+2,k]$ ヘルミート LCD MDS コードが存在する。
• $i + qj \equiv 0 \pmod{k}$ ならば $b(i,j) \neq 0$ であるという条件が満たされるとき、行列 $G(\alpha)\overline{G(\alpha)}^T$ は正則である。これは $\gamma$ および $k$ に関する提示された条件のもとで成立する。
• $[2k+1,k]$ および $[2k+2,k]$ コードの構成は、$[2k,k]$ コードの生成行列に標準基底ベクトル $e_0$ および $e_{k-1}$ を追加することで達成される。
• 未解決の問題として、$q > 3$ かつ $0 \leq k \leq n \leq q^2 + 1$ のすべてのパラメータに対して $q^2$-元ヘルミート LCD MDS コードが存在するかどうかは未解決のままである。