[論文レビュー] Exact completion of path categories and algebraic set theory -- Part I: Exact completion of path categories

Benno van den Berg, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、すべての対象がコフibrントであることを保証するブラウンのファイブレート対象の圏の拡張としての「パス圏」を導入し、そのホモトピー的完全化——ホモトピー商を自由に添加する新しい圏——を構成する。主な結果は、パス圏のホモトピー圏の完全化が、より大きなパス圏のホモトピー圏そのものであるということであり、弱い $Π$-型 や局所的カルテジアン閉性といったホモトピー的構造が保存され、強化されることを示している。

ABSTRACT

We introduce the notion of a "category with path objects", as a slight strengthening of Kenneth Brown's classic notion of a "category of fibrant objects". We develop the basic properties of such a category and its associated homotopy category. Subsequently, we show how the exact completion of this homotopy category can be obtained as the homotopy category associated to a larger category with path objects, obtained by freely adjoining certain homotopy quotients. In a second part of this paper, we will present an application to models of constructive set theory. Although our work is partly motivated by recent developments in homotopy type theory, this paper is written purely in the language of homotopy theory and category theory, and we do not presuppose any familiarity with type theory on the side of the reader.

研究の動機と目的

• 『パス圏』の概念を定義・形式化し、すべての対象がコフibrantであることを保証するブラウンのファイブレート対象の圏の強化を目的とする。
• そのような圏におけるホモトピー理論を展開し、接続構造を備えたパス対象およびホモトピー上での対角埋め込みを含む。
• 通常の完全化とは異なり、ホモトピー商を自由に添加するホモトピー的完全化を構成する。
• この完全化がホモトピー的性質（指数関手や関数拡張性）を保存・強化することを示す。
• 特に、構成的集合論および型理論をホモトピー的文脈で解釈するための圏論的基盤を、構文的モデルを通じて築くこと。

提案手法

• ファイブレーション、弱同値、パス対象構成を備えた圏としてパス圏を定義し、すべての対象がコフibrantであることを保証する追加の公理を満たすことを要請する。
• ホモトピー圏にホモトピー商を自由に添加する新しい構成、すなわちホモトピー的完全化 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ を導入する。
• $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ が新しいパス圏 $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$ のホモトピー圏と同値であることを示し、ファイブレーションおよび弱同値を保存する構成を用いる。
• $\mathcal{C}$ が弱いホモトピー $Π$-型（すなわち、ファイブレーション上でのホモトピー的内部ホム）を持つならば、$\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ は局所的カルテジアン閉であることを証明する。
• 正確な完全化における降下技法を用い、スライス圏における指数関手を、擬似同値関係上の余同値を介して計算する。
• ループに沿った輸送構造の安定性が指数関手構成によっても保たれることを示し、元の圏にそれらの性質がなくても、完成化では関数拡張性が成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウンのファイブレート対象の圏の概念を、すべての対象がコフibrantであることを保証するようにどのように強化できるか。また、その変更がもたらすホモトピー的結果は何か。
• RQ2 ホモトピー圏の完全化を、そのホモトピー的構造を保存する形で構成できるか。もし可能ならば、その方法は何か。
• RQ3 パス圏のホモトピー的完全化が、スライスにおける局所的カルテジアン閉性および指数関手をどのように継承するか。
• RQ4 元の圏にそれらの性質が存在しない場合、ホモトピー的完全化が関数拡張性といった拡張性質をどの程度改善するか。
• RQ5 この構成は、既知の型理論および構成的集合論における圏論的モデル（特にセットオイド構成と構文的モデル）とどのように関係しているか。

主な発見

• パス圏 $\mathcal{C}$ のホモトピー的完全化 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ は、より大きなパス圏 $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$ のホモトピー圏と同値であるため、ホモトピー的構造が保存される。
• $\mathcal{C}$ が弱いホモトピー $Π$-型を持つならば、$\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ は局所的カルテジアン閉であり、任意のスライス圏に指数関手が存在する。
• $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ における指数関手の構成は、擬似同値関係上の余同値を介した降下に依存し、輸送構造の安定性が指数関手化においても保たれる。
• 完成化により、$\mathcal{C}$ にそれらの性質がなくても、$\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ では関数拡張性が成立することが保証される。これは、輸送および同値関係構造の保存に起因する。
• $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$ は、半厳密かつホモトピー的上での対角埋め込みを備えた対角埋め込み構成を備えており、安定性および拡張性の証明において重要な技術的道具である。
• $\mathcal{C}$ に安定かつ分離したホモトピー的和が存在するならば、ホモトピー的完全化 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ はプレトポスである。これは、強い論理的閉包性を示している。