[論文レビュー] Univalence in locally cartesian closed infinity-categories

David Gepner, Joachim Kock|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、現在の局所的にカルテジアンな閉じた ∞-圏におけるユニバーサルな族が、Lurieの意味における有界な局所的クラスにちょうど一致することを確立し、それらがそのようなクラスの集合と順序集合同型であることを示している。すべての ∞-トポスが正則基数によってインデックスづけられたユニバーサルな族の階層を備えていることを示し、局所的にカルテジアンな局所化への右随伴がユニバーサル性を保存することを示し、∞-quasitopoi やモチーフ的空間への応用を含む。

ABSTRACT

After developing the basic theory of locally cartesian localizations of presentable locally cartesian closed infinity-categories, we establish the representability of equivalences and show that univalent families, in the sense of Voevodsky, form a poset isomorphic to the poset of bounded local classes, in the sense of Lurie. It follows that every infinity-topos has a hierarchy of "universal" univalent families, indexed by regular cardinals, and that n-topoi have univalent families classifying (n-2)-truncated maps. We show that univalent families are preserved (and detected) by right adjoints to locally cartesian localizations, and use this to exhibit certain canonical univalent families in infinity-quasitopoi (certain infinity-categories of "separated presheaves", introduced here). We also exhibit some more exotic examples of univalent families, illustrating that a univalent family in an n-topos need not be (n-2)-truncated, as well as some univalent families in the Morel--Voevodsky infinity-category of motivic spaces, an instance of a locally cartesian closed infinity-category which is not an n-topos for any $0\leq n\leq\infty$. Lastly, we show that any presentable locally cartesian closed infinity-category is modeled by a combinatorial type-theoretic model category, and conversely that the infinity-category underlying a combinatorial type-theoretic model category is presentable and locally cartesian closed. Under this correspondence, univalent families in presentable locally cartesian closed infinity-categories correspond to univalent fibrations in combinatorial type-theoretic model categories.

研究の動機と目的

• 現在の局所的にカルテジアンな閉じた ∞-圏におけるユニバーサルな族と有界な局所的クラスの間の対応を確立すること。
• すべての ∞-トポスが正則基数によってインデックスづけられたユニバーサルな族の階層を備えていることを示すこと。
• 局所的にカルテジアンな局所化への右随伴がユニバーサルな族を保存および検出できることを示すこと。
• ∞-quasitopoiにおける標準的なユニバーサルな族を構成し、∞-トポスを超える例（特にMorel–Voevodskyのモチーフ的 ∞-圏内）を提供すること。
• ∞-圏におけるユニバーサルな族と、組合せ的型理論的モデル圏におけるユニバーサルなファイブレーションとの関係を明らかにすること。

提案手法

• 現在の局所的にカルテジアンな閉じた ∞-圏における局所的にカルテジアンな局所化の理論を発展させること。
• スライス圏における同値の対象を、ユニバーサルな族の普遍性を用いて表現すること。
• Lurieの有界な局所的クラスの概念を用いて、順序集合同型を通じてユニバーサルな族を分類すること。
• 小さな ∞-圏上のプレシェーブのモデル圏に左Bousfield局所化を適用して、組合せ的型理論的モデル圏を構成すること。
• 元の圏が局所的にカルテジアンな閉じているとき、プレシェーブ圏の左Bousfield局所化が局所的にカルテジアンになるという事実を活用すること。
• ホモトピー圏と豊富に付加されたプレシェーブを介して、∞-圏レベルでのユニバーサル性とモデル圏レベルでのユニバーサル性の間の同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現在の局所的にカルテジアンな閉じた ∞-圏におけるユニバーサルな族は、Lurieの意味における有界な局所的クラスとどのように関係するか？
• RQ2 すべての ∞-トポスが正則基数によってインデックスづけられたユニバーサルな族の階層を備えていると示せるか？
• RQ3 局所的にカルテジアンな局所化への右随伴は、ユニバーサルな族を保存または検出するか？
• RQ4 ∞-quasitopoiにおける標準的なユニバーサルな族の例は何か？それらは ∞-トポスにおけるものとどのように異なるか？
• RQ5 Morel–Voevodskyのモチーフ的 ∞-圏における空間のユニバーサルな族は、n-トポスにおけるものとどのように比較できるか？

主な発見

• 現在の局所的にカルテジアンな閉じた ∞-圏におけるユニバーサルな族は、有界な局所的クラスと一対一対応し、それらはそのクラスの集合と順序集合同型をなす。
• すべての ∞-トポスは正則基数によってインデックスづけられたユニバーサルな族の階層を備えている。各族は特定の切断レベルの写像を分類する。
• n-トポスには (n−2)-切断された写像を分類するユニバーサルな族があり、これは既知の ∞-トポスにおける振る舞いの一般化である。
• ユニバーサルな族は局所的にカルテジアンな局所化への右随伴によって保存され、検出可能であり、これにより新しい文脈におけるユニバーサルな族の構成が可能になる。
• ∞-quasitopoiには標準的なユニバーサルな族が存在し、それらは分離されたプレシェーブの ∞-圏としての ∞-圏であるため、∞-トポスを超える新しい例を提供する。
• Morel–Voevodskyのモチーフ的空間の ∞-圏は、任意の有限 n に対して n-トポスでないが、局所的にカルテジアンな閉じた ∞-圏としてユニバーサルな族を備えている。