[論文レビュー] Existence of Algebraic Decay in Nonabelian Ferromagnets

Adrian Patrascioiu|ArXiv.org|Feb 9, 2000

Theoretical and Computational Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元非アーベルフェルミオン系がO(N)クラスに属する場合、低温度でスピン相関関数が代数的減衰を示すことを、サイト・ボンド確率的遷移への新規写像とエルゴディシティの議論を用いて確立している。『カット』作用素モデルにおけるクラスタ構造を解析し、Russoの定理を適用することで、すべてのN ≥ 2に対して質量なし相が存在することを証明した。これは、通常の期待とは対照的に指数的減衰を示すはずだとされる予想を覆している。

ABSTRACT

The low temperature regime of nonabelian two-dimensional ferromagnets is investigated. The method involves mapping such models into certain site-bond peroclation processes and using ergodicity in a novel fashion. It is concluded that all ferromagnets possessing a continuous symmetry (abelian or not) exihibit algebraic decay of correlations at sufficiently low temperatures.

研究の動機と目的

• 2次元非アーベルO(N)フェルミオン系が低温度で代数的減衰を示すか、指数的減衰を示すかという長年の未解決問題を解消すること。
• O(2)モデルに用いられた確率的遷移手法を、トポロジー的構造が解析を複雑にするN ≥ 3のO(N)モデルへ拡張すること。
• 写像された確率的遷移過程における平均クラスタサイズの発散を示すことにより、すべての2次元O(N)モデルに質量なし相が存在することを確立すること。
• インスタントン効果によってこのようなモデルは指数的減衰を示すべきだとされる一般的な常識に反して、トポロジカルな欠陥が状態数的抑制を受けることにより、代数的減衰が支配的であることを示すこと。

提案手法

• スピンが (N−1)次元球面に存在することを考慮し、その球面を半球に分割し、スピンの向きに応じてσ = ±1を割り当てる。
• Ising模型にFortuin-Kasteleyn変換を適用し、磁化率とFKクラスタの平均サイズとの関係を確立する。
• 最近接相互作用が|s_i − s_j| < εを満たさない限り抑制される『カット』作用素モデルを導入し、クラスタ形成の制御を可能にする。
• エルゴディシティ（C2）、確率的遷移の一意性（C3）、対称性不変性（C1）の仮説を用いて、HクラスタおよびDクラスタの確率的遷移を除外する。
• Russoの定理を適用し、σ = +1およびσ = −1クラスタの両方が確率的遷移しない場合、Hクラスタの平均サイズが発散することを示す。
• 表面積に基づく仮説（C6）を用いて、赤道帯（D̄）の平均クラスタサイズが発散しないことを主張し、これが確率的遷移がないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N ≥ 3である2次元O(N)フェルミオン系は、低温度で相関関数が代数的減衰を示すか？
• RQ2 O(2)モデルに用いられた確率的遷移写像法を、N ≥ 3の非アーベルモデルへ拡張可能か？
• RQ3 D̄-クラスタ（s_∥ < d）の確率的遷移がないことは、平均FKクラスタサイズが発散し、したがって代数的減衰が生じることを示唆するか？
• RQ4 インスタントンのようなトポロジカル欠陥は、2次元O(N)モデルにおいて状態数的抑制を受けるか？ その結果、質量なし相が出現するか？
• RQ5 低温度極限においてCallan-Symanzik β関数が消えるか？ これは連続極限において漸近的自由性を示唆するか？

主な発見

• すべての2次元O(N)フェルミオン系で、N ≥ 2かつ十分に低温の条件下でスピン相関関数が代数的減衰を示す。
• Russoの定理により保証されるように、σ = +1およびσ = −1のHクラスタが両方とも確率的遷移しないことから、平均FKクラスタサイズが発散する。
• 『カット』モデルでは、Dクラスタ（s_∥ > d）は、確率的遷移しないHクラスタ内に2つの非連結部分から成るため、確率的遷移しない。
• 十分に小さいεに対して、赤道帯D̄（s_∥ < d）は、表面積に関する仮説C6により確率的遷移しないことが示され、平均クラスタサイズが有限であることを示唆する。
• 平均FKクラスタサイズが発散することは、磁化率が発散することを意味し、質量なし相の存在を確認する。
• 結果は、2次元非アーベルモデルが指数的減衰を示すべきだとされる一般的な信念を覆しており、状態数的抑制によりスピン波がインスタントンを上回ることが示唆される。