[論文レビュー] Exact Calculation of the Mean-Square Error in the Method of Approximation of Iterated Ito Stochastic integrals, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、任意の多重度 $k$ の反復伊藤ストキャスティック積分を $L_2([t, T]^k)$ における一般化多重フーリエ級数を用いて近似する際の正確な平均二乗誤差の計算を提示する。フーリエ＝レジェンドルおよび三角関数級数展開の両方において確率的収束確率1を確立し、トレースクラスノイズを有する伊藤型SDEおよび非可換線形半双曲型SPDEのより効率的な高次強数値解法の実現を可能にする。

ABSTRACT

The article is devoted to the developement of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k)$ ($k$ is the multiplicity of the iterated Ito stochastic integral). We obtain the exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of iterated Ito stochastic integrals of multiplicity $k$ ($k\in\mathbb{N}$) from the stochastic Taylor-Ito expansion in the framework of the mentioned method. As a result, we do not need to use redundant terms of expansions of iterated Ito stochastic integrals, that complicate the numerical methods for Ito stochastic differential equations. Moreover, we proved the convergence with propability 1 of the method of expansion of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series for the cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series. Mean-square approximation of iterated Stratonovich stochastic integrals is also considered in the article. The results of the article can be applied to the high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations as well as non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise (in accordance with the mean-square criterion of convergence).

研究の動機と目的

• 任意の多重度 $k$ の反復伊藤ストキャスティック積分の平均二乗近似の厳密な手法の開発。
• 伊藤型SDEの数値スキームを複雑にする余分な展開項の必要性の排除。
• 反復伊藤積分の一般化多重フーリエ級数展開（特にフーリエ＝レジェンドルおよび三角関数級数）のほとんど確実収束の確立。
• 近似フレームワークを反復ストラトノビッチ型積分へ拡張すること。
• トレースクラスノイズを有する伊藤型SDEおよび非可換線形半双曲型SPDEの高次強数値解法の開発を支援すること。

提案手法

• 反復伊藤ストキャスティック積分の近似に、ヒルバート空間 $L_2([t, T]^k)$ における一般化多重フーリエ級数展開を用いる。
• 基底関数としてルジャンドル多項式または三角関数を用いた直交展開を適用する。
• 近似の平均二乗誤差について、$L_2$-ノルムの観点から正確かつ近似的な表現を導出する。
• 被積分関数にやや弱い正則性条件が課せられる場合でも、級数展開のほとんど確実収束を証明する。
• 変換関係を用いて、ストラトノビッチ型反復積分へのフレームワークの拡張を行う。
• 数値解法の収束基準として平均二乗基準を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化多重フーリエ級数を用いた反復伊藤ストキャスティック積分の多重度 $k$ の近似における、平均二乗誤差の正確な表現は何か？
• RQ2 反復伊藤積分の一般化多重フーリエ級数展開（例：ルジャンドルおよび三角関数）の収束をどのように厳密に確立できるか？
• RQ3 これらのフーリエに基づく近似は、伊藤型SDEの高次数値スキームの効率性をどのように向上させるか？
• RQ4 提案手法を反復ストラトノビッチ型ストキャスティック積分に対応させるにはどのようにすればよいか？
• RQ5 ストキャスティックテイラー＝イタ展開の文脈において、近似手法のほとんど確実収束を保証する条件は何か？

主な発見

• 本稿では、多重度 $k$ の反復伊藤ストキャスティック積分の近似における正確かつ近似的な平均二乗誤差の表現を導出する。
• 多重フーリエ＝レジェンドルおよび多重三角関数フーリエ級数展開の両方において、確率1での収束が達成される。
• 余分な展開項の使用を回避するアプローチにより、確率微分方程式の数値実装が簡素化される。
• フレームワークは、反復ストラトノビッチ型ストキャスティック積分の平均二乗近似へ拡張されている。
• 得られた結果は、トレースクラスノイズを有する伊藤型SDEおよび非可換線形半双曲型SPDEの高次強数値解法の構築を支援する。
• 手法は $L_2$-ノルム収束基準に基づいており、実用応用における頑健性と正確性を保証する。