[論文レビュー] Application of the Method of Approximation of Iterated Ito Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series to the High-Order Strong Numerical Methods for Non-Commutative Semilinear Stochastic Partial Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、トレースクラスノイズを伴う非可換な半線形確率偏微分方程式（SPDE）に対して、一般化された多重フーリエ級数（特にルジャンドル多項式を用いて）反復伊藤確率積分を任意の多重度で近似する、高次強度数値スキームを提示する。主な貢献は、無限次元のQウィーナー過程をフーリエ＝ルジャンドル展開によって有限次元近似に還元することで、平均二乗近似スキームを確立し、指数型ワーゲル＝プラテン型スキームの収束率が $1.5 - \varepsilon$ に達することを実現することにある。

ABSTRACT

We consider a method for the approximation of iterated stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in \mathbb{N})$ with respect to the infinite-dimensional $Q$-Wiener process using the mean-square approximation method of iterated Ito stochastic integrals with respect to the scalar standard Wiener processes based on generalized multiple Fourier series. The case of multiple Fourier-Legendre series is considered in details. The results of the article can be applied to construction of high-order strong numerical methods (with respect to the temporal discretization) for the approximation of mild solution for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise.

研究の動機と目的

• トレースクラスノイズを伴う非可換な半線形SPDEに対して、高次強度数値法を開発すること。
• 無限次元Qウィーナー過程に関する任意多重度の反復伊藤確率積分の近似という計算上の課題に対処すること。
• 従来スカラーワイナープロセスに用いられてきた一般化された多重フーリエ級数法を、Qウィーナー過程の有限次元近似を介して無限次元の場合に拡張すること。
• 得られた数値スキームの平均二乗収束率を確立すること、特に指数型ミンクスチンおよびワーゲル＝プラテン型スキームを対象とすること。
• 誤差境界における階乗項をその平方根に置き換えることで、計算コストを低減し、実装可能性を高めること。

提案手法

• 無限次元Qウィーナー過程に関する多重度 $k$ の反復伊藤確率積分を、特に多重フーリエ＝ルジャンドル級数を用いた一般化された多重フーリエ級数で近似する。
• 共分散作用素 $Q$ の固有関数と $U_0$ 内の正規直交基底 $\{e_r\}$ を用いて、無限次元Qウィーナー過程を有限次元近似に還元する。
• 反復確率積分をスカラー確率積分 $I_{(1)T,t}^{(r)}$ および $J_{(01)T,t}^{(r_1 r_2)}$ の形に表現し、これらをフーリエ＝ルジャンドル展開によって近似する。
• 切り捨てられたルジャンドル多項式展開を用いて近似 $J_{(01)T,t}^{(r_1 r_2)q}$ を定義し、$q \to \infty$ のとき平均二乗収束を保証する。
• バナッハ空間におけるテイラーの定理および弱解のための指数型公式を適用し、SPDEの高次数値スキームを導出する。
• SPDEの弱解の構造および $F$ と $B$ のフレシェ微分を用いて、$F'$, $B'$, $B''$ を含む反復積分を、近似された確率積分の形に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元Qウィーナー過程に関する任意多重度の反復伊藤確率積分を、高い精度で近似する方法は何か？
• RQ2 一般化された多重フーリエ級数に基づく平均二乗近似法の収束率は、このような積分に対してどの程度か？
• RQ3 本手法は、トレースクラスノイズを伴う非可換な半線形SPDEに対して、高次強度数値スキームを構築するために効果的に適用可能か？
• RQ4 ルジャンドル多項式展開は、他のフーリエ級数と比較して、計算効率および誤差制御の観点でどのように優れるか？
• RQ5 誤差推定において $(k!)^2$ を $k!$ に置き換えることで、実装可能性および計算コストにどのような影響を与えるか？

主な発見

• 一般化された多重フーリエ級数を用いて、多重度 $k$ の反復伊藤確率積分の平均二乗近似が達成され、収束率は切り捨てパラメータ $q$ に依存する。
• 積分 $I_7[B(Z),F(Z)]_{T,t}^{M}$ に対しては、平均二乗誤差が $2^2 C (2!)^2 ({\rm tr}\, Q)^2 E_q$ で抑えられ、ここで $E_q$ はルジャンドル級数近似からの誤差である。
• 積分 $I_8[B(Z),F(Z)]_{T,t}^{M}$ に対しては、平均二乗誤差が $C (2!)^2 ({\rm tr}\, Q)^2 E_q$ で抑えられ、前項と同一の誤差項 $E_q$ で定義される。
• 誤差境界 $E_q$ は $q \to \infty$ のとき減少し、近似スキームが真の積分にほとんど確実に収束することを保証する。
• 計算実験の結果、誤差境界における因子 $k!$ は実際の計算では無視可能であり、計算コストを顕著に低減できることが示唆された。
• 本手法により、強収束次数 $1.5 - \varepsilon$ の指数型ワーゲル＝プラテン型数値スキームの構築が可能となり、理論的期待と一致する。