[論文レビュー] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth Multiplicity Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、$L_2([t, T]^k)$ における一般化多重フーリエ級数を用いた、五重乗性を持つ反復ストラトノビッチ確率積分の新規展開を提示する。平均二乗収束を達成するための限界操作を1回のみにすることで、イト積分の対応手法と比較して統合プロセスが簡素化される。この手法により、テイラー＝ストラトノビッチ展開を用いたイト型確率微分方程式の効率的数値解法が可能となる。

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals of fifth multiplicity based on the method of generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ The mentioned expansion converges in the mean-square sense and contains only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. The expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals turned out much simpler than the appropriate expansion of iterated Ito stochastic integrals. We use the expansion of the latter as a tool of the proof of the expansion for iterated Stratonovich stochastic integrals. The iterated Stratonovich stochastic integrals are the part of the Taylor-Stratonovich expansion of solutions of Ito stochastic differential equations. That is why the results of the article can be applied to the numerical integrations of Ito stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 五重乗性を持つ反復ストラトノビッチ確率積分の計算的に効率的な展開を開発すること。
• 複数回の限界操作を要する従来手法と比較して、単一の限界操作で平均二乗収束を保証すること。
• イト積分と比較して構造が単純であるストラトノビッチ積分の性質を活用し、より実用的な数値スキームを構築すること。
• 改善されたテイラー＝ストラトノビッチ展開を通じて、イト型確率微分方程式の数値統合を支援すること。
• ヒルバート空間 $L_2$ における一般化フーリエ級数を用いた、高次数値解析のための基盤を構築すること。

提案手法

• 反復ストラトノビッチ確率積分の五重乗性を、$L_2([t, T]^k)$ における一般化多重フーリエ級数で表現する。
• ヒルバート空間 $L_2([t, T]^k)$ におけるノルム収束を用いて、平均二乗収束を確立する。
• ストラトノビッチ展開を証明する基盤として、反復イト確率積分の展開を応用する。
• 直交関数系と級数収束技法を用いて展開を構築し、計算複雑性を最小限に抑える。
• 計算の安定性と効率性を高めるために、限界操作を1回のみに制限する。
• ストラトノビッチ積分の構造的単純性を活用し、イト積分の展開よりも単純な展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化フーリエ級数を用いた $L_2([t, T]^k)$ において、五重乗性を持つ反復ストラトノビッチ確率積分をどのように展開できるか？
• RQ2 提案された展開の平均二乗収束の挙動はいかなるものか？
• RQ3 提案された展開における限界操作の回数は、従来手法と比較してどのように異なるか？
• RQ4 ストラトノビッチ積分の構造的性質は、イト積分の展開と比較して、展開をどのように単純化するか？
• RQ5 導出された展開は、イト型確率微分方程式の数値解法に効果的に応用可能か？

主な発見

• 提案された展開は、ヒルバート空間 $L_2([t, T]^k)$ 内で平均二乗収束する。
• 本手法は、従来類似手法と比較して、限界操作を1回のみにすることで、計算プロセスが著しく簡素化される。
• 反復ストラトノビッチ積分の展開は、対応するイト積分の展開よりも構造的に単純である。
• 一般化多重フーリエ級数の使用により、五重乗性を持つ積分の体系的かつ数値的に取り扱いやすい表現が可能になる。
• 本研究の結果は、テイラー＝ストラトノビッチ展開を用いたイト型確率微分方程式の高次数値統合の実用的ツールを提供する。
• ストラトノビッチ計算の有利な性質を活用することで、効率的な数値スキームの基盤を確立する。