[論文レビュー] Extended TQFT's and Quantum Gravity

Jeffrey C. Morton|ArXiv.org|Sep 29, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 61被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限群ゲージ理論（Dijkgraaf-Wittenモデル）を具体的な実装として用い、2次コボルディズムの2-圏から2ベクトル空間の2-圏への弱い2関手として、拡張された位相的量子場理論（TQFT）を定式化する。これは、接続およびゲージ変換の群コホーショングラフ上のVect値プレシェーブの引き戻しと押し出しを用いて理論を構成し、弱い2関手の公理を証明し、3次元量子重力（物質を含むPonzano-Regge理論）を回復することを示す。Lie群への拡張も可能性を示唆する。

ABSTRACT

This paper gives a definition of an extended topological quantum field theory (TQFT) as a weak 2-functor Z: nCob_2 -> 2Vect, by analogy with the description of a TQFT as a functor Z: nCob -> Vect. We also show how to obtain such a theory from any finite group G. This theory is related to a topological gauge theory, the Dijkgraaf-Witten model. To give this definition rigorously, we first define a bicategory of cobordisms between cobordisms. We also give some explicit description of a higher-categorical version of Vect, denoted 2Vect, a bicategory of "2-vector spaces". Along the way, we prove several results showing how to construct 2-vector spaces of "Vect-valued presheaves" on certain kinds of groupoids. In particular, we use the case when these are groupoids whose objects are connections, and whose morphisms are gauge transformations, on the manifolds on which the extended TQFT is to be defined. On cobordisms between these manifolds, we show how a construction of ``pullback and pushforward'' of presheaves gives both the morphisms and 2-morphisms in 2Vect for the extended TQFT, and that these satisfy the axioms for a weak 2-functor. Finally, we discuss the motivation for this research in terms of Quantum Gravity. If the results can be extended from a finite group G to a Lie group, then for some choices of G this theory will recover an existing theory of Euclidean quantum gravity in 3 dimensions. We suggest extensions of these ideas which may be useful to further this connection and apply it in higher dimensions.

研究の動機と目的

• 2次コボルディズムの2-圏 $ \mathbf{nCob}_2 $ から2ベクトル空間の2-圏 $ \mathbf{2Vect} $ への弱い2関手 $ Z: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $ を定義し、$ \mathbf{Vect} $ への関手としての標準的TQFTを一般化すること。
• 有限群 $ G $ から出発し、Dijkgraaf-Witten位相的ゲージ理論を用いてそのような2関手を明示的に構成すること。
• コーナーを持つコボルディズムのための厳密な2-圏的枠組みと、2ベクトル空間の高次圏的構造を提供すること。
• 拡張TQFTと量子重力（特に物質場を含む3次元）との関係を確立すること。
• 有限群からLie群への構成の拡張を示唆し、適切な$ G $の選択により3次元でユークリッド量子重力を回復できる可能性を示すこと。

提案手法

• コーナーを持つ多様体とコルーガを用いて、コボルディズムの2-圏 $ \mathbf{nCob}_2 $ を定義する。
• $ \mathbf{2Vect} $ を、接続およびゲージ変換の群コホーショングラフ上のプレシェーブから構成される2ベクトル空間の2-圏として導入する。
• $ \mathbf{Vect} $-値プレシェーブに対する引き戻しと押し出し操作を用いて、$ \mathbf{2Vect} $ の2線形写像（射）および2-射を定義する。
• 各多様体に$ G $-接続の空間を、各コボルディズムにこれらのプレシェーブの引き戻しと押し出しを割り当てることで、拡張TQFT $ Z_G $ を構成する。
• 得られた割り当てが、合成および単位のための整合性条件を含む弱い2関手の公理を満たすことを検証する。
• 水平および垂直合成の整合性を保証するため、Verityの二重2-圏フレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーナーを持つコボルディズムの2-圏から2ベクトル空間の2-圏への弱い2関手として、位相的量子場理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 有限群 $ G $ のDijkgraaf-Wittenモデルを、明示的な射および2-射の構成を伴い、弱い2関手 $ Z_G: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $ として再定式化できるか？
• RQ3 接続およびゲージ変換の群コホーショングラフ上のプレシェーブは、拡張TQFTにおける2ベクトル空間および2線形写像の構成において、どのように役立つか？
• RQ4 提案された構成は、3次元量子重力における物質を含むPonzano-Reggeモデルをどのように回復するか？
• RQ5 有限群の構成をLie群に拡張するための条件は何か？ 3次元でユークリッド量子重力を回復するには？

主な発見

• 本稿では、接続およびゲージ変換の群コホーショングラフ上の$ \mathbf{Vect} $-値プレシェーブの引き戻しと押し出しを用いて、Dijkgraaf-Wittenモデルから弱い2関手 $ Z_G: \mathbf{nCob}_2 \to \mathbf{2Vect} $ を構成する。
• $ \mathbf{2Vect} $ の射は、コボルディズムに沿った引き戻しと押し出しによって誘導される2線形写像として実現され、2-射はゲージ変換から生じる。
• この構成は、弱い2関手の公理（合成および単位の整合性条件）を満たしており、Verityの二重2-圏フレームワークにより検証されている。
• 有限群$ G $の場合、理論は物質を含む3次元量子重力のPonzano-Reggeモデルの拡張を回復する。これは真空中のケースを超える。
• この枠組みは一般性に富んでおり、Lie群への拡張が可能であることが示唆され、適切な$ G $の選択により、3次元でユークリッド量子重力を回復できる可能性を示唆する。
• コーナーを持つコボルディズムの二重2-圏における水平および垂直合成の交換法則は、スパンの圏における押し出しの普遍性により成立する。