[論文レビュー] Failure of the curvature-dimension condition in sub-Finsler manifolds

Mattia Magnabosco, Tommaso Rossi|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2023

Advanced Differential Geometry ResearchPhysics and Astronomy被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかで強く凸なノルムおよび $C^{1,1}$-正則なヘイゼンベルク群においても、部分フィン슬ー多様体において曲率次元条件 $\mathsf{CD}(K,N)$ が成立しないことを示している。ジュリエの手法を適応させ、新規の幾何学的道具を導入することで、測地線に 沿った体積収縮が必要な凸性を破ることを証明した。さらに、特異なノルムのもとで、より弱い $\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件も成立しないことを示し、合成的曲率境界が部分フィン슬ー幾何学と根本的になじまないことを強調している。

ABSTRACT

The Lott-Sturm-Villani curvature-dimension condition $\mathsf{CD}(K,N)$ provides a synthetic notion for a metric measure space to have curvature bounded from below by $K$ and dimension bounded from above by $N$. It has been recently proved that this condition does not hold in sub-Riemannian geometry for every choice of the parameters $K$ and $N$. In this paper, we extend this result to the context sub-Finsler geometry, showing that the $\mathsf{CD}(K,N)$ condition is not well-suited to characterize curvature in this setting. Firstly, we show that this condition fails in (strict) sub-Finsler manifolds equipped with a smooth strongly convex norm and with a positive smooth measure. Secondly, we focus on the sub-Finsler Heisenberg group, proving that curvature-dimension bounds can not hold also when the reference norm is less regular, in particular when it is of class $C^{1,1}$. The strategy for proving these results is a non-trivial adaptation of the work of Juillet [Rev. Mat. Iberoam., 37(1):177-188, 2021], and it requires the introduction of new tools and ideas of independent interest. Finally, we demonstrate the failure of the (weaker) measure contraction property $\mathsf{MCP}(K,N)$ in the sub-Finsler Heisenberg group, equipped with a singular strictly convex norm and with a positive smooth measure. This result contrasts with what happens in the \sr Heisenberg group, which instead satisfies $\mathsf{MCP}(0,5)$.

研究の動機と目的

• 部分フィン슬ー幾何学における合成的曲率次元条件 $\mathsf{CD}(K,N)$ が成り立つかどうかを調査し、既知の部分リーマン設定における不成立を拡張する。
• 滑らかで強く凸な部分フィン슬ー多様体に滑らかな測度が備わっていようとも、$\mathsf{CD}(K,N)$ が成立しないことを確立する。
• ノルムが $C^{1,1}$-正則である部分フィン슬ー・ヘイゼンベルク群において、$\mathsf{CD}(K,N)$ がなぜ失敗するかを分析する。
• ヘイゼンベルク群において特異で強く凸なノルムのもとで、より弱い $\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件が成立しないことを証明する。
• 一意的な最小化子があるにもかかわらず、測地線の分岐が一意的に生じることを示し、古典的直観に挑戦する。

提案手法

• Juilletの手法を適応し、$\mathsf{CD}(K,N)$ を破る異常な部分を含む測地線の族を構成する。
• 初期条件の集合 $\mathscr{A}$ を構成し、それが小さな $t$ に対して $z=0$ 平面に留まる一意的な測地線を生成することを示し、体積収縮推定値を破る。
• 凸三角法と双対ノルム $\Omega^\circ$ を用いて、ヘイゼンベルク群における測地線の挙動を分析する。
• 指数写像と終点写像の分析により、極値曲線の特徴とその正則性を同定する。
• 面積対長さの二乗比の厳密な単調減少性を示すために、凹な $C^1$ 関数を含む新しい幾何不等式を導入する。これは矛盾の導出に不可欠である。
• $\mathsf{BM}(K,N)$ であるブラウン＝ミンコフスキー不等式を応用し、$t$-中点 $M_t(A,B)$ の測度を用いて矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで強く凸なノルムと正の滑らかな測度を備えた滑らかな部分フィン슬ー多様体において、$\mathsf{CD}(K,N)$ 条件は成立するか？
• RQ2 ノルムが $C^{1,1}$-正則である場合に、部分フィン슬ー・ヘイゼンベルク群において $\mathsf{CD}(K,N)$ が満たされるか？
• RQ3 ノルムが特異で強く凸な場合に、部分フィン슬ー・ヘイゼンベルク群において $\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件は成立するか？
• RQ4 双対ノルム $\Omega^\circ$ の幾何学的性質は、曲率境界の失敗にどのように寄与するか？
• RQ5 一意的な測地線が分岐することが部分フィン슬ー幾何学で可能であり、これは合成的曲率条件にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $\mathsf{CD}(K,N)$ 条件は、正の滑らかな測度を備えたすべての滑らかで強く凸な部分フィン슬ー多様体で、$K$ や $N$ にかかわらず不成立である。
• $C^{1,1}$-正則なノルムを備えた部分フィン슬ー・ヘイゼンベルク群では、測地線に沿った体積収縮推定値の破綻により、$\mathsf{CD}(K,N)$ 条件が不成立である。
• ノルムが特異で強く凸な場合、部分フィン슬ー・ヘイゼンベルク群において $\mathsf{MCP}(K,N)$ 条件は不成立である。これは、部分リーマン設定では $\mathsf{MCP}(0,5)$ が成立するのとは対照的である。
• 小さな $t$ に対して平面 $\{y=0,z=0\}$ に留まる測地線の族が存在し、期待される体積増大と矛盾するため、$\mathsf{CD}(K,N)$ 不等式が破られる。
• 特異な部分フィン슬ー・ヘイゼンベルク群では、各測地線が一意的であっても、測地線の分岐が一意的に発生する。これは古典的直観に反する。
• 新しい幾何不等式が証明された：$C^1$ の凹関数 $f$ に対して、比 $a(s)/d(s)^2$ は厳密に減少する。これは証明における矛盾の導出に不可欠である。