[論文レビュー] Formalized procedure of transition to classical limit in application to the Dirac equation

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Jul 26, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子公理に依存せずにディラック方程式からディラック粒子の古典的類似物を導出するための動的再量子化法を提案する。ハミルトニアン定数 ℏ を動的定数 b と分離する自然なパrameter化を用いてディラック方程式を再定式化することで、10自由度の内部構造を有する古典的系を構築し、ℏ → 0 の極限で古典的極限が得られることを示した。これにより、長年の古典-量子移行における曖昧さが解消される。

ABSTRACT

Classical model S{Dcl} of the Dirac particle S_D is constructed. S_D is the dynamic system described by the Dirac equation. For investigation of S_D and construction of S_{Dcl} one uses a new dynamic method: dynamic disquantization. This relativistic purely dynamic procedure does not use principles of quantum mechanics. The obtained classical analog S_{Dcl} is described by a system of ordinary differential equations, containing the quantum constant as a parameter. Dynamic equations for S_{Dcl} are determined by the Dirac equation uniquely. The dynamic system S_{Dcl} has ten degrees of freedom and cannot be a pointlike particle, because it has an internal structure. Internal degrees of freedom appears to be described nonrelativistically. One discusses interplay between the conventional axiomatic methods and the dynamical methods of the quantum systems investigation. In particular, one discusses the reasons, why the internal degrees of freedom of the Dirac particle and their nonrelativistic character were not discovered during eighty years.

研究の動機と目的

• 量子系の古典的極限における曖昧さ、特に ℏ = 0 を標準的定式化で代入すると退化するディラック粒子の古典的極限における曖昧さを解消すること。
• 公理的量子力学を用いずに、内部自由度と相対論的構造を保持する古典的ディラック粒子の類似物を、完全に動的アプローチで構築すること。
• 従来の量子作用の定式化が、量子定数 ℏ と動的定数を人工的に混合しており、古典的極限で一貫性のない結果を生じることを示すこと。
• 波動関数の自然なパrameter化により、別個の動的定数 b を導入することで、ℏ → 0 の極限において一貫した古典的極限が得られることを示すこと。

提案手法

• 公理的量子力学を避けるために、複素波動関数 Ψ_b に別個の動的定数 b を用いたディラック方程式の再定式化に基づく、新たな動的法則「動的再量子化」を導入する。
• シュレーディンガー方程式およびディラック方程式の標準的作用を、量子定数 ℏ と動的定数 b を明示的に分離する自然な作用に置き換え、古典的極限が明確に定義されることを保証する。
• 内部構造が非相対論的内部自由度に由来する10自由度の常微分方程式系として古典的ディラック粒子モデル S_Dcl を導出する。
• 変換 ψ → Ψ_b = |ψ| exp((ℏ/b) log(ψ/|ψ|)) を用いて、人工的定式化 (1.1) から自然な定式化 (1.7) に移行し、物理的内容を保存しつつ、一貫した古典的極限を可能にする。
• 自然なパrameter化を4成分スピンダーに拡張することで、ディラック方程式に対しても同様の手法を適用し、内部構造と非相対論的内部力学を有する古典的系を導出する。
• ℏ → 0 の極限において、自然な作用が古典的粒子の統計的集合の作用に還元されるのに対し、元の人工的定式化は退化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的手法でディラック方程式の ℏ = 0 を代入しても一貫した古典的極限が得られないのか？
• RQ2 量子公理を用いずに古典的ディラック粒子の類似物を構築できる動的メカニズムは何か？
• RQ3 古典的枠組み内でのディラック粒子の内部自由度は、どのように特定され、記述可能か？
• RQ4 80年以上にわたる広範な研究にもかかわらず、なぜディラック粒子の内部自由度は未だに検出されていなかったのか？
• RQ5 相対論的力学のみに依存し、正準量子化に依存しない方法で、ディラック方程式から一貫した古典的極限を導出できるか？

主な発見

• 古典的ディラック粒子 S_Dcl は、非相対論的内部自由度に由来する10自由度の常微分方程式系として得られ、内部構造を有する。
• 古典的極限は、元の作用で ℏ = 0 を代入することで得られるのではなく、ℏ を別個のパrameterとして扱い、b が有限のままに保たれる自然なパrameter化により達成される。これにより退化を回避できる。
• 自然な作用 (1.7) には b と ℏ が共に含まれており、ℏ → 0 の極限で古典的粒子の統計的集合の作用に還元され、一貫した古典的極限が確認される。
• ディラック粒子の内部構造は、非相対論的自由度として明らかにされ、従来の定式化では b と ℏ が人工的に混合されていたため、以前は隠れていた。
• 本手法により、なぜ内部構造が長年発見されなかったのかが説明される。従来の定式化では b = ℏ と強制され、ℏ → 0 の極限で退化が生じる。
• 本アプローチにより、古典的極限は量子力学の極限ではなく、動的プロセスであることが示され、ディラック粒子は内部構造を有するため、点粒子ではありえない。