[論文レビュー] From quadratic Hamiltonians of polymomenta to abstract geometrical Maxwell-like and Einstein-like equations

Alexandru Oană, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双対1-jet空間を用いて、多時刻ハミルトニアン場理論の幾何的枠組みを構築し、多ポテンシャルの二次ハミルトニアンから抽象的なマクスウェル型およびアインシュタイン型方程式を導出する。非線形およびカルタン N-線形接続を標準的に構成し、曲率に基づく場の方程式と、多時刻形式における重力場および電磁場の一般化された保存則を導く。

ABSTRACT

The aim of this paper is to create a large geometrical background on the dual 1-jet space J^{1*}(T,M) for a multi-time Hamiltonian approach of the electromagnetic and gravitational physical fields. Our geometric-physical construction is achieved starting only from a given quadratic Hamiltonian function of polymomenta H, which naturally produces a canonical nonlinear connection N, a canonical Cartan N-linear connection CΓ(N) and their corresponding local distinguished (d-) torsions and curvatures. In such a context, we construct some geometrical electromagnetic-like and gravitational-like field theories which are characterized by some natural geometrical Maxwell-like and Einstein-like equations. Some abstract and geometrical conservation laws for the multi-time Hamiltonian gravitational physical field are also given.

研究の動機と目的

• 双対1-jet空間 $J^{1*}( au, M)$ を用いた多時刻ハミルトニアン場理論の幾何的基盤を構築すること。
• 多ポテンシャルの二次ハミルトニアン関数から標準的な非線形およびカルタン $N$-線形接続を導出すること。
• 多時刻設定におけるマクスウェルの場の方程式およびアインシュタインの方程式に類似した抽象的な幾何的場の方程式を定式化すること。
• 多時刻重力場の文脈において、ストレステンソル d-テンソルの一般化された保存則を確立すること。
• 提案された幾何的場理論の物理的解釈を検討すること、特に重力および電磁気学に焦点を当てる。

提案手法

• 双対1-jet空間 $E^* = J^{1*}( au, M)$ 上に、Kronecker $h$-正則な多時刻ハミルトニアン関数 $H = h_{ab}(t)g^{ij}(t,x)p_i^a p_j^b + U_{(a)}^{(i)}(t,x)p_i^a + ilde{F}(t,x)$ を定義する。
• ハミルトニアンを用いて、二階偏導関数から標準的な非線形接続 $N$ および標準的なカルタン $N$-線形接続 $C ilde{ abla}(N)$ を構成する。
• カルタン接続の局所的区別的（d-）ねじれおよび d-曲率を計算し、幾何的場強度を特徴付ける。
• スカラー曲率 $ ext{Sc}(C ilde{ abla}) $ を $ m = 1 $ の場合 $ R - S $ および $ m eq 1 $ の場合 $ ilde{ abla} + R $ として計算する。ここで $ R $ はリーマン曲率、$ S $ はねじれスカラーである。
• 曲率不変量とストレステンソル d-テンソル $ ilde{ au}_{AB} $ を等置することで、幾何的アインシュタイン型方程式を定式化する。$ m = 1 $ および $ m eq 1 $ のそれぞれについて別々の形をとる。
• 一般化された保存則 $ ilde{ au}_A^{B|B} = 0 $ を仮定し、曲率およびねじれ成分を用いた明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対1-jet空間上での多ポテンシャルの二次ハミルトニアンは、どのように標準的な非線形接続およびカルタン $N$-線形接続を生成するか？
• RQ2 多時刻ハミルトニアン枠組みにおけるマクスウェルの場の方程式およびアインシュタインの方程式に類似した幾何的場の方程式は、どのように得られるか？
• RQ3 カルタン接続の曲率およびねじれ成分は、どのように電磁気的および重力的場の力学を符号化するか？
• RQ4 この多時刻幾何的設定におけるストレステンソル d-テンソルの一般化された保存則は何か？
• RQ5 導出された幾何的場の方程式の物理的意味は何か、特に重力および電磁気学に焦点を当てる。

主な発見

• 標準的な非線形接続 $ N $ およびカルタン $ N $-線形接続 $ C ilde{ abla}(N) $ は、ハミルトニアン $ H $ の二階微分によって完全に決定され、特に $ rac{1}{2} rac{ abla^2 H}{ abla p_i^a abla p_j^b} = h_{ab}(t)g^{ij}(t,x) $ である。
• $ m = ext{dim}( au) = 1 $ の場合、カルタン接続のスカラー曲率は $ ext{Sc}(C ilde{ abla}) = R - S $ であり、$ m eq 1 $ の場合 $ ext{Sc}(C ilde{ abla}) = ilde{ abla} + R $ である。
• $ m = 1 $ の場合の幾何的アインシュタイン型方程式は、$ R - S $、$ R_{ij} $、および $ S_{(i)(j)}^{(a)(b)} $ を含む方程式系として与えられ、$ rac{R - S}{2} $ がストレステンソル d-テンソル $ ilde{ au}_{AB} $ への曲率結合として作用する。
• $ m eq 1 $ の場合、アインシュタイン型方程式は $ ilde{ abla}_{ab} - rac{ ilde{ abla} + R}{2} h_{ab} = ilde{ au}_{ab} $ を含み、空間的および混合成分に対しても同様の形を取る。
• 一般化された保存則は $ ilde{ au}_A^{B|B} = 0 $ として表され、曲率およびねじれ成分の共変微分を用いた明示的表現を含む。例えば $ m = 1 $ の場合、$ ig[ rac{R - S}{2} ig]_{/1} = R_{1|r}^r - P_{(r)1}^{(1)}|_{(1)}^{(r)} $ が成り立つ。
• 整合性を保つために、ストレステンソル d-テンソル $ ilde{ au} $ の特定の成分が事前に 0 である必要がある。これは幾何モデルにおける物理的制約を反映している。