[論文レビュー] From Reference Frame Relativity to Relativity of Mathematical Models : Relativity Formulas in a Variety of Non-Archimedean Setups

Elemér E Rosinger|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 24被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、実数を含む非アルキメデス的代数、特に非アーケメデス的代数へ特殊相対性理論の速度加法公式を拡張し、相対論的法則が多様な数学的モデルにおいても共変性を保つことを示している。超光速速度とゼロ速度状態が自然に出現することを明らかにし、実数に基づく物理学の排他的性を疑問視するとともに、従来の枠組みを超えた物理法則の相対性を拡張している。

ABSTRACT

Galilean Relativity and Einstein's Special and General Relativity showed that the Laws of Physics go deeper than their representations in any given reference frame. Thus covariance, or independence of Laws of Physics with respect to changes of reference frames became a fundamental principle. So far, all of that has only been expressed within one single mathematical model, namely, the traditional one built upon the usual continuum of the field $\mathbb{R}$ of real numbers, since complex numbers, finite dimensional Euclidean spaces, or infinite dimensional Hilbert spaces, etc., are built upon the real numbers. Here, following [55], we give one example of how one can go beyond that situation and study what stays the same and what changes in the Laws of Physics, when one models them within an infinitely large variety of algebras of scalars constructed rather naturally. Specifically, it is shown that the Special Relativistic addition of velocities can naturally be considered in any of infinitely many reduced power algebras, each of them containing the usual field of real numbers and which, unlike the latter, are non-Archimedean. The nonstandard reals are but one case of such reduced power algebras, and are as well non-Archimedean. Two surprising and strange effects of such a study of the Special Relativistic addition of velocities are that one can easily go beyond the velocity of light, and rather dually, one can as easily end up frozen in immobility, with zero velocity. Both of these situations, together with many other ones, are as naturally available, as the usual one within real numbers.

研究の動機と目的

• 標準的な実数の枠組みを超えた異なる数学的モデルにおいて、特に特殊相対性理論の速度加法が不変のままであるかどうかを調査すること。
• 非アーケメデス的代数（例えば、縮小冪代数や非標準的実数）をスカラー体として物理理論に用いることの意味を検討すること。
• 物理法則の共変性が実数体に特有のものではなく、広い範囲の非アーケメデス的代数においても保持されることを示すこと。
• 超光速運動や絶対的静止といった、これらの拡張モデルにおいて自然に生じる新たな物理的挙動を明らかにすること。

提案手法

• 実数体から構成される非アーケメデス的で、ℝ を部分体として含む縮小冪代数を用いる。
• これらの代数へ相対論的速度加法公式を一般化し、無限小および無限大のスカラーを許容しながらも、代数的構造を保つ。
• 非アーケメデス的代数を定義するために、列の同値類と超積の概念を用い、有限の場合には標準的実数算術と整合性を保つ。
• 新しいスカラー構造下での速度加法演算の振る舞い、特に極限や特異点に注目して分析する。
• 標準的実数モデルと非アーケメデス的モデルの結果を比較し、相対論的法則の不変および変化する特徴を同定する。
• モデル理論的手法と非標準解析を用い、代数をℝ の自然な拡張として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数を部分体として含む非アーケメデス的代数へ、相対論的速度加法公式を一貫して拡張できるか？
• RQ2 標準的実数による特殊相対性理論の定式化とは異なる、非アーケメデス的モデルで出現する物理的挙動は何か？
• RQ3 異なるスカラーの数学的モデルにおいて、物理法則の共変性（特に速度加法則）はどのように振る舞うか？
• RQ4 超光速速度とゼロ速度状態は、単なる数学的アーティファクトであるのか、それとも拡張された枠組みにおいて物理的に意味のある状態を表すのか？
• RQ5 物理法則の相対性が、その記述に用いられるスカラー体の選択に依存しない程度はどの程度か？

主な発見

• 実数を含む任意の縮小冪代数へ、相対論的速度加法公式を自然に拡張でき、代数的構造が保たれる。
• 非アーケメデス的モデルでは、光速を超える速度が数学的かつ物理的にアクセス可能となり、標準的実数の場合と同様に成立する。
• 逆に、このモデルでは絶対的静止（ゼロ速度）状態が、同じ代数的枠組みから自然に生じる。
• 超光速およびゼロ速度状態の存在は、異常ではなく、非アーケメデス的スカラー構造の直接的結果である。
• 本研究では、物理法則（速度加法など）が広い範囲の非アーケメデス的代数においても共変性を保つことが確認され、数学的モデルの相対性がより広がることを支持する。
• 結果から、物理法則の形式がスカラー体（ℝ または非アーケメデス的拡張）の選択に依存するのではなく、その現象的実現に影響を及ぼすことが示唆される。