[論文レビュー] G-Gaussian Processes under Sublinear Expectations and q-Brownian Motion in Quantum Mechanics

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、部分線形期待値の下での一般化されたガウス過程と、複素数値線形期待値の下での新しいqブラウン運動を導入し、シュレーディンガー方程式の解を経路積分による確率積分で表現する、新しいファインマン＝カックの公式を可能にする。この枠組みは、古典的確率過程を非線形および量子にインspiredな設定へと拡張し、Gブラウン運動とq正規分布を一貫した期待値空間内で統合する。

ABSTRACT

We provide a general approach to construct a stochastic process with a given consistent family of finite dimensional distributions under a nonlinear expectation space. We use this approach to construct a generalized Gaussian process under a sublinear expectation and a q-Brownian motion. The later one is under a complex-valued linear expectation, with which a new type of Feynman-Kac formula can be derived to represent the solution of a Schrödinger equation.

研究の動機と目的

• 非線形（部分線形）期待値空間の下で、指定された有限次元分布の整合的な族を持つ確率過程を構成すること。
• 有限次元分布がG正規分布に従うG-ガウス過程を定義し、古典的ガウス過程を非線形設定へ一般化すること。
• 複素数値線形期待値枠組みを導入し、q正規確率変数とqブラウン運動を定義することで、量子確率的挙動をモデル化すること。
• シュレーディンガー方程式の解をqブラウン運動の経路による期待値として表現する、新しいファインマン＝カック型の公式を導出すること。
• G容量フレームワーク下でGブラウン運動の経路連続性と表現可能性を確立すること。

提案手法

• 与えられた有限次元分布を持つ確率過程を、部分線形期待値の下で構成するために、コルモゴロフの整合性定理の一般化を用いる。
• 部分線形G期待値を弱コンactな確率測度族 $\mathcal{P}$ 上での最大値として表現する：$\mathbb{E}[X] = \max_{P \in \mathcal{P}} E_P[X]$。
• G正規分布を用いてG-ガウス過程を定義し、非線形期待値下で増分が安定的かつ独立的であることを保証する。
• 複素数値線形期待値を導入してq正規分布を定義し、q正規増分を持つプロセスとしてqブラウン運動を構成する。
• G容量と擬連続性を用いて、空間 $L_G^p(\Omega)$ の特徴づけを行い、経路連続性と期待値における収束を保証する。
• 区分的線形経路 $\omega^{(n)}(\omega)$ を用いた近似により、$L_{ip}(\Omega)$ が $L_G^1(\Omega)$ で稠密であることを証明し、空間の完備化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定された有限次元分布を持つ確率過程を、部分線形期待値空間で一貫して構成する方法は何か？
• RQ2 部分線形期待値下でのG-ガウス過程の構造は何か？また、古典的ガウス過程とはどのように異なるか？
• RQ3 複素数値線形期待値の下でqブラウン運動を定義できるか？その確率的性質は何か？
• RQ4 シュレーディンガー方程式の解をqブラウン運動の経路を用いて表現する、新しいファインマン＝カックの公式は存在するか？
• RQ5 G容量フレームワーク下で、Gブラウン運動の連続性と経路連続性を保証する条件は何か？

主な発見

• すべての有限次元分布がG正規分布に従うG-ガウス過程が構成され、古典的ガウス過程が非線形期待値空間へ一般化された。
• 部分線形G期待値は弱コンパクトな確率測度族 $\mathcal{P}$ 上での最大値として表現され、不確実性の整合的表現と一貫性を保証する。
• qブラウン運動は複素数値線形期待値の下で定義され、増分がq正規分布に従うことで、量子にインスパイアされた確率的枠組みを可能にする。
• シュレーディンガー方程式の解がqブラウン運動の経路に関する期待値として表現される、新しいファインマン＝カックの公式が導出された。
• 空間 $L_G^p(\Omega)$ はG期待値下での $L_{ip}(\Omega)$ の完備化として特徴づけられ、要素は擬連続的であり、尾積分可能性を満たす。
• 区分的線形経路による近似と $L_G^1$-ノルムにおける収束を用いて、Gブラウン運動の経路連続性が確立された。