[論文レビュー] Generalised probabilistic theories and conic extensions of polytopes

Samuel Fiorini, Serge Massar+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 44被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般化された確率論的理論（GPTs）と多面体の円錐拡張の間に深い関係を確立し、完全正定値円錐に基づくGPTの通信複雑性が、多項式的に識別可能な頂点を持つ0/1多面体に対して、古典的通信複雑性よりも指数的に小さいことを示している。このような多面体が小さな円錐拡張を許容することを証明し、古典的通信複雑性とGPTベースの通信複雑性の間で指数的ギャップが生じることを示し、量子基礎と組合せ最適化の新しい幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Generalized probabilistic theories (GPT) provide a general framework that includes classical and quantum theories. It is described by a cone $C$ and its dual $C^*$. We show that whether some one-way communication complexity problems can be solved within a GPT is equivalent to the recently introduced cone factorisation of the corresponding communication matrix $M$. We also prove an analogue of Holevo's theorem: when the cone $C$ is contained in $\mathbb{R}^{n}$, the classical capacity of the channel realised by sending GPT states and measuring them is bounded by $\log n$. Polytopes and optimising functions over polytopes arise in many areas of discrete mathematics. A conic extension of a polytope is the intersection of a cone $C$ with an affine subspace whose projection onto the original space yields the desired polytope. Extensions of polytopes can sometimes be much simpler geometric objects than the polytope itself. The existence of a conic extension of a polytope is equivalent to that of a cone factorisation of the slack matrix of the polytope, on the same cone. We show that all $0/1$ polytopes whose vertices can be recognized by a polynomial size circuit, which includes as a special case the travelling salesman polytope and many other polytopes from combinatorial optimisation, have small conic extension complexity when the cone is the completely positive cone. Using recent exponential lower bounds on the linear extension complexity of polytopes, this provides an exponential gap between the communication complexity of GPT based on the completely positive cone and classical communication complexity, and a conjectured exponential gap with quantum communication complexity. Our work thus relates the communication complexity of generalisations of quantum theory to questions of mainstream interest in the area of combinatorial optimisation.

研究の動機と目的

• 一般化された確率論的理論（GPTs）の通信複雑性と、通信行列の円錐因子分解の間の対応関係を確立すること。
• 特に巡回セールスマン問題（TSP）多面体など、組合せ最適化に現れる0/1多面体の拡張複雑性を調査すること。
• 多項式的に定義可能な0/1多面体が、完全正定値円錐上に小さな円錐拡張を許容することを示すこと。
• 円錐が完全正定値円錐である場合に、古典的通信複雑性とGPTベースの通信複雑性の間に指数的ギャップが生じることを明らかにすること。
• 円錐拡張と通信複雑性の観点を通じて、量子基礎の基礎的問題と組合せ最適化の中心的問題を結びつけること。

提案手法

• 論文は、通信行列の円錐因子分解を用いて、GPTが与えられた片方向通信複雑性問題を解けるかどうかを特徴づけている。
• 多面体の円錐拡張を、円錐Cとアフィン部分空間の交差として定義し、その射影が元の多面体となるようにしている。
• 多面体に円錐拡張が存在することは、同じ円錐上でのスラック行列の円錐因子分解の存在と同値であることを証明している。
• 0/1多面体の回路ベースの表現を適用し、頂点が多項式サイズの回路で識別可能な任意の多面体が、完全正定値円錐上に小さな円錐拡張を持つことを示している。
• 既知の線形拡張複雑性に関する指数的下界を活用し、円錐が完全正定値円錐である場合に、古典的通信複雑性とGPTベースの通信複雑性の間に指数的ギャップが生じることを確立している。
• 相関多面体COR(n)を普遍的なリフト空間として用い、任意の多項式的に定義可能な0/1多面体をCOR(n)の面の射影として埋め込むための有効な超平面を構築している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GPTの通信複雑性は、対応する通信行列Mの円錐因子分解の存在によって特徴づけられるか？
• RQ2 頂点が多項式サイズの回路で識別可能な0/1多面体の円錐拡張複雑性は何か？
• RQ3 完全正定値円錐は、TSP多面体などの重要な組合せ最適化多面体に対して、指数的に小さい円錐拡張を可能にするか？
• RQ4 古典的通信と完全正定値円錐に基づくGPTの間の通信複雑性ギャップは何か？
• RQ5 多面体の円錐拡張は、一般化された確率論的理論の基礎的構造とどのように関係するか？

主な発見

• GPTの通信複雑性は、対応する通信行列Mの円錐因子分解の存在と同値である。
• 円錐CがR^nに含まれる場合、GPT状態を送信し測定することで実現されるチャネルの古典的容量はlog nで有界であり、これはホールヴォの定理の一般化である。
• 頂点が多項式サイズの回路で識別可能なすべての0/1多面体は、完全正定値円錐上に小さな円錐拡張複雑性を持つ。
• これにより、円錐が完全正定値円錐である場合に、古典的通信複雑性とGPTベースの通信複雑性の間に指数的ギャップが生じる。これは、既知の線形拡張複雑性に関する指数的下界に基づく。
• この結果は、TSPやその他の組合せ最適化問題が、大きな線形拡張複雑性を持つにもかかわらず、完全正定値円錐上に小さな円錐計画問題として表現可能であることを示唆している。
• 論文は、任意の多項式的に定義可能な0/1多面体が、次元dと回路サイズp(d)に対してn ≤ d + p(d)となるCOR(n)の面の射影であることを確立している。