[論文レビュー] Generating the algebraic theory of $C(X)$: the case of partially ordered compact spaces

Dirk Hofmann, Renato Neves+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単調連続写像を伴う部分順序コンパクト空間の圏の双対が、ℵ₁-アリティの準多様体であることを確立し、その代数的理論の部分的記述を提供する。さらに、この圏上のヴィエトリスコアルゲブラの圏が同様にℵ₁-アリティの準多様体であることを示し、ℵ₁-コ生成対象を正確に可測空間であるものとして特徴づける。

ABSTRACT

It is known since the late 1960's that the dual of the category of compact Hausdorff spaces and continuous maps is a variety -- not finitary, but bounded by $\aleph_1$. In this note we show that the dual of the category of partially ordered compact spaces and monotone continuous maps is a $\aleph_1$-ary quasivariety, and describe partially its algebraic theory. Based on this description, we extend these results to categories of Vietoris coalgebras and homomorphisms. We also characterise the $\aleph_1$-copresentable partially ordered compact spaces.

研究の動機と目的

• コンパクトハウスドルフ空間における既知の双対性結果を拡張し、部分順序コンパクト空間の双対圏の代数的構造を調査すること。
• 部分順序コンパクト空間の圏の双対が多様体であるか、より一般の準多様体であるかを特定すること。
• 部分順序コンパクト空間上のヴィエトリスコアルゲブラの圏へと双対性結果を拡張すること。
• 部分順序コンパクト空間の圏におけるℵ₁-コ生成対象を特徴づけること。
• 双対性理論における先行研究に基づき、PosCompの双対を支配する代数的理論の部分的記述を提供すること。

提案手法

• ホフマンとネヴィス（2016）の双対性結果を活用し、部分順序コンパクト空間の双対圏を分析する。
• ℵ₁-アリティの準多様体の概念を用いて、双対圏の代数的構造を記述し、既知のCompHaus^opのℵ₁-有界多様体構造を一般化する。
• 単位区間[0,1]を順序と位相を備えた生成対象として用い、双対圏における代数的演算を構成する。
• コンパクト空間の圏における極限に関するバウルバキの基準を適用し、[0,1]の有限冪への因数分解を通じてコ生成性を分析する。
• PosCompにおけるヴィエトリス関手を用いてコアルゲブラを定義し、その結果得られる圏の双対が同様にℵ₁-アリティの準多様体であることを示す。
• 可測空間を[0,1]^ℕに埋め込み、有限冪への因数分解を用いて、可測空間がℵ₁-コ生成であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分順序コンパクト空間の圏の双対は多様体か、より一般の準多様体か？
• RQ2 PosCompの双対の代数的理論は部分的に記述可能か？ その演算と恒等式は何か？
• RQ3 PosComp上のヴィエトリスコアルゲブラの圏もまたℵ₁-アリティの準多様体か？
• RQ4 PosCompにおけるどの対象がℵ₁-コ生成か？ そして、それらを特徴づけられるか？
• RQ5 CompHausおよびプリーストリー空間における双対性結果は、部分順序コンパクト空間のより広い圏へとどのように拡張可能か？

主な発見

• 単調連続写像を伴う部分順序コンパクト空間の圏の双対は、ℵ₁-アリティの準多様体である。
• 本稿では、順序を備えた単位区間[0,1]から導かれる演算に基づき、この双対圏の代数的理論の部分的記述を提供する。
• PosComp上のヴィエトリスコアルゲブラの圏がℵ₁-アリティの準多様体であることが示され、双対性結果がコアルゲブラ的構造へと拡張される。
• 任意の可測な部分順序コンパクト空間は、PosCompにおいてℵ₁-コ生成である。
• PosCompにおけるℵ₁-コ生成対象は、正確に可測空間であることが、[0,1]の有限冪への因数分解を用いて確立された。
• 証明は、可測空間を[0,1]^ℕに埋め込み、ℵ₁-コ生成な有限冪の可算極限を用いて、コ生成性を結論づける。