[論文レビュー] Good and semi-stable reductions of Shimura varieties

Xuhua He, G. Pappas+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分岐が単純な場合のシュイマ多様体およびそれらに付随する局所モデルの良い還元および準安定還元のための基準を確立し、パッパス＝ズーの枠組みによって構成された局所モデルが一意に定まり、特異ファイバーが非退化であることを証明する。主な結果は、群が単純な分岐拡大で分解する場合のアーベル型シュイマ多様体の局所モデルについて、良い還元または準安定還元が生じるすべてのケースを特定することであり、中心的な道具としてCCP条件および厳密な擬安定還元を用いる。

ABSTRACT

We study variants of the local models constructed by the second author and Zhu and consider corresponding integral models of Shimura varieties of abelian type. We determine all cases of good, resp. of semi-stable, reduction under tame ramification hypotheses.

研究の動機と目的

• p進整数におけるパラホリックレベル構造をもつアーベル型シュイマ多様体について、良い還元および準安定還元が生じるすべてのケースを特定すること。
• パッパスとズーが構成した局所モデルが単純な分岐のもとで一意に定まることを確立し、補助的選択の独立性に関する未解決問題を解決すること。
• 局所モデルの特異点を特徴づけ、それらを対応するシュイマ多様体の還元型と関連付けること。
• 『CCP条件』を半安定還元の主要基準として導入し、それが有理数的厳密な擬安定還元と同値であることを証明すること。
• 単純な場合における良い還元または準安定還元をもつ局所モデルの完全な分類を提供し、モジュラー曲線に関する既知の結果を一般のシュイマ多様体へと拡張すること。

提案手法

• p進体上の対称形式における格子鎖と同相条件を用いて、ナードモデル関手の一般ファイバーの平坦閉包として局所モデルを定義する。
• Gをp進体F上に再び定義された再び定義された代数群とし、{μ}を最小的コキャラクター、Kをパラホリック部分群とする局所モデル三重体(G, {μ}, K)の枠組みを用いる。
• 有理数的厳密な擬安定還元の必要十分条件として、『CCP条件』（コキャラクターとパラホリックの整合性）を導入する。
• フラッグ多様体上の座標と二次形式制約を用いて、局所モデルの特異ファイバーをアフィンチャートにおける明示的方程式で分析する。
• 平坦性を用いて、定義方程式（例：x1y2n + ... + xnyn + xn+1yn+1 = 0）が普遍的に成り立つことにより、局所モデルが非退化な特異ファイバーを持つことを証明する。
• 分岐していない拡大への基本変換を用いて、分類のwell-defined性を保証し、半安定還元とCCP条件との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所モデル三重体(G, {μ}, K)がどのような条件下で、対応する局所モデルが良い還元をもつのか。
• RQ2 局所モデルが準安定還元をもつのはいつか、特にGが単純な分岐拡大で分解するという仮定のもとで。
• RQ3 局所モデルの構成は補助的選択に依存しないのか、特に単純な場合において。
• RQ4 CCP条件と特異ファイバーの幾何的構造との正確な関係は何か。
• RQ5 良い還元および準安定還元の分類は、最小またはパラホリックレベル構造のケースを超えて拡張可能か。

主な発見

• GがFの単純な分岐拡大で分解するとき、局所モデルMloc_K(G, {μ})は補助的選択に依存せず一意に定まる。
• 局所モデルの幾何的特異ファイバーは非退化であり、残渣体k上のアフィンフラッグ多様体における{μ}-適応領域に同型である。
• 局所モデルが良い還元をもつのは、局所モデル三重体がCCP条件を満たし、群が単純な分岐であるとき、かつそのときに限り、成り立つ。
• 非分解型SO_{2n}でr = nおよび{0}の場合、局所モデルは滑らかである。これは、アフィンチャートにおける連結成分のザリスキ閉包がアフィン空間に同型であることで示される。
• 一方、分解型SO_{2n}の場合でμ = μ1の場合、特異ファイバーにおける特異的交差により、擬安定還元をもたない。
• ナードモデルが平坦でない場合、特異ファイバーに余分な成分が含まれる。これは、分解型SO_{2n}の場合に、定義方程式を満たさないP^{n-1} × P^{n-1}成分が現れることで示される。