[論文レビュー] Heat flow on the moduli space of flat connections and Yang-Mills theory

Rémi Janner|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平坦接続のモジュライ空間上のループ空間の有界モーレーhomologyと、部分的にスケーリングされた計量を備えた3次元多様体上でのヤン・ミルズ接続の有界モーレーhomologyの間の同型を確立する。ヒートフローとヤン・ミルズ$L^2$-フローを用いて、$\varepsilon \to 0$のとき、モジュライ空間上の摂動付き測地線がヤン・ミルズ接続に対応することを証明し、アディアバティック極限を通じて無限次元シンプレクティック幾何学とヤン・ミルズ理論を結びつける。

ABSTRACT

It is known that there is a bijection between the perturbed closed geodesics, below a given energy level, on the moduli space of flat connections M and families of perturbed Yang-Mills connections depending on a small parameter. In this paper we study the heat flow on the loop space on M and the Yang-Mills L^2-flows for a 3-manifold N with partial rescaled metrics. Our main result is that the bounded Morse homology of the loop space on M is isomorphic to the bounded Morse homologies of the connections space of N.

研究の動機と目的

• 平坦接続のモジュライ空間上の摂動付き測地線と、スケーリングされた計量を備えた3次元多様体上での摂動付きヤン・ミルズ接続の間の対応関係を確立すること。
• ヤン・ミルズフローとループ空間上のヒートフローの文脈において、$\varepsilon \to 0$におけるアディアバティック極限を分析すること。
• ループ空間上のモジュライ空間の有界モーレーhomologyとヤン・ミルズ接続空間の有界モーレーhomologyの間の同型を証明すること。
• 部分的スケーリング下でのヤン・ミルズフローに対する一様推定とゲージ固定技術を開発すること。
• アティヤ＝ボットフレームワークを摂動関数へ拡張し、非線形PDEを用いて臨界点を分析すること。

提案手法

• 曲面$\Sigma$上での$\mathrm{SO}(3)$-接続の平坦接続のモジュライ空間$\mathcal{M}^{g}(P)$のループ空間上のヒートフローを用いる。
• $\varepsilon \to 0$における計量$\varepsilon^2 g_\Sigma \oplus g_{S^1}$を備えた$N = \Sigma \times S^1$上でのヤン・ミルズ$L^2$-フローを分析する。
• 臨界点を両空間で結ぶために摂動エネルギー関数$E^H$と$\mathcal{YM}^{\varepsilon,H}$を適用する。
• ゲージ群の非コンパクト性を制御し収束を保証するために相対コーシー・ゲージ固定を用いる。
• $\Sigma$上での$L^p$-ノルムとソボレフ型不等式を用いて、ヤン・ミルズフロー作用素の線形および二次の推定を導出する。
• $\mathcal{R}^{\varepsilon,b}$をフロー間の写像として構成し、その全射性と指数的収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリングされた計量を備えた3次元多様体上でのヤン・ミルズ接続に対応する平坦接続モジュライ空間上の摂動付き測地線は、どのように関係しているか？
• RQ2 アディアバティック極限において、$\varepsilon \to 0$のときのヤン・ミルズ$L^2$-フローの漸近的挙動は何か？
• RQ3 有界モーレーhomologyを用いて、$\mathcal{M}^{g}(P)$上のループ空間と$\Sigma \times S^1$上でのヤン・ミルズ接続空間を比較可能か？
• RQ4 非線形フロー方程式を制御するために必要な一様推定とゲージ固定技術は何か？
• RQ5 二つの空間の有界モーレーhomology間に標準的な同型が存在するか？

主な発見

• ループ空間上のモジュライ空間$\mathcal{M}^{g}(P)$の有界モーレーhomologyは、$\Sigma \times S^1$上でのヤン・ミルズ接続空間の有界モーレーhomologyと同型である。
• $\varepsilon \to 0$のとき、$\mathcal{M}^{g}(P)$上の摂動付き測地線は、$\Sigma \times S^1$上での摂動付きヤン・ミルズ接続と一対一に対応する。
• 相対コーシー・ゲージ下でヤン・ミルズフローの指数的収束が確立され、臨界点の安定性が保証される。
• $\varepsilon$に依存しない定数を有する、ヤン・ミルズフロー作用素の一様$L^p$-推定が導出された。
• $\mathcal{R}^{\varepsilon,b}$をフロー間の写像として全射であることが示され、同型の構成が可能となった。
• 証明は、$\varepsilon$に一様に成立する$\Sigma$上での$L^p$-ソボレフ不等式と楕円型推定に依存している。