[論文レビュー] Higher rho numbers and the mapping of analytic surgery to homology

Paolo Piazza, Thomas Schick+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ガロア被覆 $ ilde{M}$ の解析的構造群 $σ_*^\Gamma(\widetilde{M})$ に関連する2つのペアリングを構成し、delocalized cyclic cohomology および相対コホモロジー $H^*(M \to B\Gamma)$ と結びつける。Higson-Roe解析的手術系列から非可換 de Rham ホモロジー系列への写像を確立し、可逆な $γ$-不変Dirac作用素に対する高次 rho 数の定義を可能にする。

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a finitely generated discrete group and let $\widetilde{M}$ be a Galois $\Gamma$-covering of a smooth compact manifold $M$. Let $u:X o B\Gamma$ be the associated classifying map. Finally, let $\mathrm{S}_*^\Gamma (\widetilde{M})$ be the analytic structure group, a K-theory group appearing in the Higson-Roe exact sequence $\cdots o \mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M}) o K_*(M) o K_*(C^*\Gamma) o\cdots$. Under suitable assumptions on $\Gamma$ we construct two pairings, first between $\mathrm{S}^\Gamma_*(\widetilde{M})$ and the delocalized part of the cyclic cohomology of $\mathbb{C}\Gamma$, and secondly between $\mathrm{S}^\Gamma_*(\widetilde M)$ and the relative cohomology $H^*(M o B\Gamma)$. Both are compatible with known pairings associated with the other terms in the Higson-Roe sequence. In particular, we define higher rho numbers associated to the rho class $ ho(\widetilde{D})\in \mathrm{S}_*^\Gamma (\widetilde{M})$ of an invertible $\Gamma$-equivariant Dirac type operator on $\widetilde{M}$. Regarding the first pairing we establish in fact a more general result, valid without additional assumptions on $\Gamma$: indeed, we prove that it is possible to map the Higson-Roe analytic surgery sequence to the long exact sequence in noncommutative de Rham homology $ \cdots\xrightarrow{j_*} H_{*-1} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{\iota} H^{del}_{*-1} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{\delta}H^{e}_{*} (\mathcal{A}\Gamma)\xrightarrow{j_*}\cdots$ with $\mathcal{A}\Gamma$ a dense homomorphically closed subalgebra of $C^*_r \Gamma$ and $ H_{*}^{del} (\mathcal{A}\Gamma)$ and $ H_{*}^{e} (\mathcal{A}\Gamma)$ denoting versions of the delocalized homology and the homology localized at the identity element, respectively.

研究の動機と目的

• 解析的手術不変量を用いて、$\Gamma$-不変Dirac作用素に対する高次 rho 不変量を定義すること。
• Higson-Roe正確系列と整合するように、解析的構造群 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ と $\mathbb{C}\Gamma$ のdelocalized cyclic cohomology 間のペアリングを確立すること。
• このペアリングを、任意の有限生成離散群 $\Gamma$ に対して、Higson-Roe解析的手術系列から非可換 de Rham ホモロジー系列への一般写像へと拡張すること。
• $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ に属する rho 級 $\rho(\widetilde{D})$ に関連する高次 rho 数を定義し、それらを研究すること。

提案手法

• Higson-Roe正確系列をフレームワークとして用い、$\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ と $\mathbb{C}\Gamma$ のdelocalized cyclic cohomology 間のペアリングを構成する。
• 既知の正確系列構造と整合するように、$\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ と相対コホモロジー $H^*(M \to B\Gamma)$ 間の第二のペアリングを定義する。
• 群 $\Gamma$ に関する追加仮定を一切要せず、Higson-Roe解析的手術系列から非可換 de Rham ホモロジーの長い正確系列への一般写像を確立する。この写像は、$C^*_r\Gamma$ の稠密な $*$-部分代数 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ を用いて実現される。
• $\mathcal{A}\Gamma$ の代数的構造を用いて、$H^{\text{del}}_*(\mathcal{A}\Gamma)$ および $H^e_*(\mathcal{A}\Gamma)$ を定義し、それぞれdelocalizedおよびidentity-localizedホモロジーを表す。
• 両方のペアリングがHigson-Roe系列の写像と整合し、正確性およびファンクターイリティを保つように保証する。
• 高次 rho 数を、rho 級 $\rho(\widetilde{D})$ がこれらのペアリングを通じて写される像として定義し、古典的 rho 不変量を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、解析的構造群 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ を用いて、$\Gamma$-不変Dirac作用素に対する高次 rho 不変量を定義できるか？
• RQ2 解析的手術系列と非可換 de Rham ホモロジーの関係は何か？ 任意の $\Gamma$ に対してファンクター的であるか？
• RQ3 Higson-Roe正確系列を尊重するように、$\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ と $\mathbb{C}\Gamma$ のdelocalized cyclic cohomology 間のペアリングを構成できるか？
• RQ4 相対コホモロジー $H^*(M \to B\Gamma)$ は、手術不変量の文脈において解析的構造群とどのように関係するか？
• RQ5 稠密な $*$-部分代数 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ は、解析的手術と非可換 de Rham ホモロジーの間の接続を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、Higson-Roe正確系列と整合するように、解析的構造群 $\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ と $\mathbb{C}\Gamma$ のdelocalized cyclic cohomology 間の自然なペアリングを構成する。
• 任意の有限生成離散群 $\Gamma$ に対して、追加仮定を要せず、Higson-Roe解析的手術系列から非可換 de Rham ホモロジー系列への一般写像を確立する。
• この写像は、$C^*_r\Gamma$ の稠密な $*$-部分代数 $\mathcal{A}\Gamma \subset C^*_r\Gamma$ を通じて実現され、$H^{\text{del}}_*(\mathcal{A}\Gamma)$ および $H^e_*(\mathcal{A}\Gamma)$ の定義を支える。
• 第二のペアリングとして、$\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ と相対コホモロジー $H^*(M \to B\Gamma)$ 間のペアリングを定義し、Higson-Roe系列の正確性を保つ。
• 高次 rho 数は、rho 級 $\rho(\widetilde{D})$ がこれらのペアリングを通じて写される像として定義され、古典的 rho 不変量を解析的手術の文脈に一般化する。
• 結果として、$\mathrm{S}_*^\Gamma(\widetilde{M})$ に属する解析的手術不変量が、非可換ホモロジーおよびコホモロジー理論を介して検出可能であることが示され、インデックス理論および $K$-理論的不変量のための新たな道具が得られる。