[論文レビュー] Improved Parameterized Algorithms for Constraint Satisfaction

Eun Jung Kim, Ryan Williams|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、論理的および順列的制約充足問題（CSP）の『平均以上』のパrameterizationに焦点を当て、制約充足問題（CSP）のパrameterizedなアルゴリズムを改善する。変数数がO(k)に制限された等価なインスタンスへの還元（バイカーネル化）により、2^O(k)-timeのアルゴリズムが得られ、Max-c-Sat、Set-Splitting、Betweennessなどの問題について、効率的な正確解法が可能になる。

ABSTRACT

For many constraint satisfaction problems, the algorithm which chooses a random assignment achieves the best possible approximation ratio. For instance, a simple random assignment for {\sc Max-E3-Sat} allows 7/8-approximation and for every $\eps >0$ there is no polynomial-time ($7/8+\eps$)-approximation unless P=NP. Another example is the {\sc Permutation CSP} of bounded arity. Given the expected fraction $ρ$ of the constraints satisfied by a random assignment (i.e. permutation), there is no $(ρ+\eps)$-approximation algorithm for every $\eps >0$, assuming the Unique Games Conjecture (UGC). In this work, we consider the following parameterization of constraint satisfaction problems. Given a set of $m$ constraints of constant arity, can we satisfy at least $ρm +k$ constraint, where $ρ$ is the expected fraction of constraints satisfied by a random assignment? {\sc Constraint Satisfaction Problems above Average} have been posed in different forms in the literature \cite{Niedermeier2006,MahajanRamanSikdar09}. We present a faster parameterized algorithm for deciding whether $m/2+k/2$ equations can be simultaneously satisfied over ${\mathbb F}_2$. As a consequence, we obtain $O(k)$-variable bikernels for {\sc boolean CSPs} of arity $c$ for every fixed $c$, and for {\sc permutation CSPs} of arity 3. This implies linear bikernels for many problems under the "above average" parameterization, such as {\sc Max-$c$-Sat}, {\sc Set-Splitting}, {\sc Betweenness} and {\sc Max Acyclic Subgraph}. As a result, all the parameterized problems we consider in this paper admit $2^{O(k)}$-time algorithms. We also obtain non-trivial hybrid algorithms for every Max $c$-CSP: for every instance $I$, we can either approximate $I$ beyond the random assignment threshold in polynomial time, or we can find an optimal solution to $I$ in subexponential time.

研究の動機と目的

• ランダム代入による期待性能を上回るCSPの解法における計算複雑性を扱う。
• ランダム代入による期待値を上回る制約を満たすCSPの効率的なパrameterizedアルゴリズムを開発する。
• 『平均以上』パrameterizationの下で、さまざまなCSPに対して線形バイカーネルを提供し、固定パrameter可 tractable（FPT）なアルゴリズムを実現する。
• 多項式時間近似と正確計算を組み合わせることで、Max-c-CSPsのためのサブ指数時間アルゴリズムを確立する。

提案手法

• パrameterが期待平均（ρm + k）を上回る制約の数であるパrameterizedフレームワークを提案する。
• ブールおよび順列的CSPを、変数数がO(k)のMax-c-Lin-2 Above Averageの等価インスタンスに還元する。
• バイカーネル化を用いて、kに線形に依存するサイズの等価インスタンスに事前処理し、固定パrameter可 tractabilityを保証する。
• 動的計画法（Held-Karp方式）を活用して、n = O(k)の条件下でO*(2^n)時間で還元されたインスタンスを解く。
• 変数の出現回数を追跡するための多変数多項式表現を構築し、還元プロセスの正しさを保証する。
• 還元問題における変数数の上限を、非可約インスタンスの構造的性質と制約の対称性を用いて制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム代入の性能を上回るCSPのためのより高速なパrameterizedアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 『平均以上』パrameterizationの下で、ブールおよび順列的CSPの最小問題カーネルサイズは何か？
• RQ3 近似と正確計算を組み合わせることで、Max-c-CSPsのサブ指数時間アルゴリズムを達成できるか？
• RQ4 線形順序および順列制約に注目した、有界なアリティを持つCSPにバイカーネル化をどの程度適用できるか？
• RQ5 非可約インスタンスの構造が、還元問題における変数数にどのような制限を課えるか？

主な発見

• 本稿では、アリティcのすべてのブールCSPおよびアリティ3の順列CSPについて、O(k)-サイズのバイカーネルを達成し、固定パrameter可 tractableなアルゴリズムを実現した。
• Max-c-Permutation CSP Above Averageについて、c = 2およびc = 3のケースで2^O(k)-timeアルゴリズムを確立した。これは、問題カーネル化と動的計画法の組み合わせによるものである。
• 非可約noインスタンスにおいて、3-Linear Orderingのカーネル変数数は15k以下、2-Linear Orderingでは10k以下に制限される。
• 還元されたインスタンスを解くために、3-Linear Orderingの正確なO*(2^n)-timeアルゴリズムが使用され、全体として2^O(k)-timeの複雑さが達成された。
• 本フレームワークにより、ハイブリッドアルゴリズムが可能である：多項式時間でランダム基準を上回る近似解を得るか、もしくはサブ指数時間で最適解を求める。
• 重み付き制約およびアリティ2の制約に対しても結果は頑健であり、これらのケースへの直接的な拡張が可能である。