[論文レビュー] Independent Set, Induced Matching, and Pricing: Connections and Tight (Subexponential Time) Approximation Hardnesses

Parinya Chalermsook, Bundit Laekhanukit+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、最大独立集合、誘導マッチング、kハイパーグラフプライシングの3つの根本的なNP困難問題について、それらの間の新しい接続を用いて、ほぼタイトな超指数的時間内近似不能性結果を確立する。ETHのもとで、最大独立集合のr-近似アルゴリズムが時間 2^{n^{1−ε}/r^{1+ε}} 未満で動作することは不可能であることを証明し、これは既知の最良の上界にほぼ一致する。同様に、kハイパーグラフプライシングおよび有界次数の二部グラフにおける誘導マッチングに対しても、ほぼ最適な難易度が示される。

ABSTRACT

We present a series of almost settled inapproximability results for three fundamental problems. The first in our series is the subexponential-time inapproximability of the maximum independent set problem, a question studied in the area of parameterized complexity. The second is the hardness of approximating the maximum induced matching problem on bounded-degree bipartite graphs. The last in our series is the tight hardness of approximating the k-hypergraph pricing problem, a fundamental problem arising from the area of algorithmic game theory. In particular, assuming the Exponential Time Hypothesis, our two main results are: - For any r larger than some constant, any r-approximation algorithm for the maximum independent set problem must run in at least 2^{n^{1-ε}/r^{1+ε}} time. This nearly matches the upper bound of 2^{n/r} (Cygan et al., 2008). It also improves some hardness results in the domain of parameterized complexity (e.g., Escoffier et al., 2012 and Chitnis et al., 2013) - For any k larger than some constant, there is no polynomial time min (k^{1-ε}, n^{1/2-ε})-approximation algorithm for the k-hypergraph pricing problem, where n is the number of vertices in an input graph. This almost matches the upper bound of min (O(k), ilde O(\sqrt{n})) (by Balcan and Blum, 2007 and an algorithm in this paper). We note an interesting fact that, in contrast to n^{1/2-ε} hardness for polynomial-time algorithms, the k-hypergraph pricing problem admits n^δ approximation for any δ>0 in quasi-polynomial time. This puts this problem in a rare approximability class in which approximability thresholds can be improved significantly by allowing algorithms to run in quasi-polynomial time.

研究の動機と目的

• 指数時間仮説（ETH）のもとで、最大独立集合問題の超指数的時間内近似不能性境界をほぼタイトに確立すること。
• 有界次数の二部グラフにおける誘導マッチング問題の強力な近似不能性を証明すること。
• kハイパーグラフプライシング問題の近似可能性の閾値を解明し、多項式時間内にほぼ最適な近似不能性を示すこと。
• 新しい還元と接続を用いて、3つの異なる問題の間で難易度結果を統一的かつ強化すること。
• 多項式時間近似が困難な問題に対して、準多項式時間アルゴリズムが近似比を著しく改善できるかを検討すること。

提案手法

• 既存のPCPコンponentsを巧みに組み合わせることで、ほぼ線形サイズでスパースかつ高次数で自由ビット複雑度が小さいPCPを構築する。
• 誘導マッチング数に関連する分散器の新しいグラフ理論的性質を用いて、独立集合問題と誘導マッチング問題のタイトな接続を確立する。
• 近似比を保存するように特別に設計されたグラフ変換を用いて、独立集合問題を誘導マッチング問題に還元する。
• 半誘導マッチングからの還元を介して、独立集合問題の超指数的時間内近似不能性をkハイパーグラフプライシング問題に転送する。
• kハイパーグラフプライシング問題に対して、任意のδ > 0 に対して O(n^δ)-近似を実現する準多項式時間アルゴリズムを設計し、時間の増加に伴い近似閾値が著しく改善されることを示す。
• 価格段階制約と丸め技法を用いて、時間計算量 O((log nm)^n poly(n,m)) の定数近似アルゴリズムを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数時間仮説のもとで、最大独立集合問題の超指数的時間内近似不能性は、さらにタイトにできるか？
• RQ2 kハイパーグラフプライシング問題において、多項式時間で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 有界次数の二部グラフにおける誘導マッチングの近似可能性は、独立集合問題およびプライシング問題のそれとどのように関係するか？
• RQ4 多項式時間近似が困難な問題に対して、準多項式時間アルゴリズムが近似比を著しく改善できるか？
• RQ5 これらの問題の超指数的時間内近似不能性を証明するにはETHが必要か、それとも弱い仮定で十分か？

主な発見

• 指数時間仮説のもとで、任意の r > ある定数 に対して、最大独立集合のr-近似アルゴリズムは、少なくとも 2^{n^{1−ε}/r^{1+ε}} 時間を要する。これは、2^{n/r} という既知の最良の上界にほぼ一致する。
• kハイパーグラフプライシング問題は、ETHのもとで、多項式時間内に min{k^{1−ε}, n^{1/2−ε}}-近似アルゴリズムを有しない。これは、既知の最良の上界 min{O(k), Õ(√n)} にほぼ一致する。
• 有界次数dの二部グラフにおける誘導マッチング問題は、ETHを仮定すると、多項式時間内に n^{1/2−ε} 近似は不可能である。
• kハイパーグラフプライシング問題は、任意のδ > 0 に対して、準多項式時間内に O(n^δ)-近似が可能であり、多項式時間と準多項式時間の間での近似可能性のギャップが顕著に現れる。
• kハイパーグラフプライシング問題に対して、時間計算量 O((log nm)^n poly(n,m)) で、任意のα > 1 に対して近似比 O(α²/(α−1)) を達成する定数近似アルゴリズムが存在する。
• 本稿は、準多項式時間が近似比を著しく向上させることのできる稀な事例を示しており、特異な近似可能性クラスを強調している。