[論文レビュー] Infinitesimal Hom-bialgebras and Hom-Lie bialgebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 37被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ホモ代数コホモロジーにおけるねじれコサイクル条件を用いて、無限小ホモ代数のホモ型一般化として無限小ホモ代数を導入し、その構造を確立する。また、アソシエイティブ・ホモヤンガーベーテル方程式（AHYBE）を発展させ、既存のホモ代数から新しいホモ代数を構成するためのねじれ原理を証明し、AHYBEの反対称解が交換子括弧を用いて準三角的ホモリーバイアレジスを生成することを示す。これは古典的結果をホモ設定に拡張するものである。

ABSTRACT

We study the Hom-type generalization of infinitesimal bialgebras, called infinitesimal Hom-bialgebras. In particular, we consider infinitesimal Hom-bialgebras arising from quivers, the sub-classes of coboundary and quasi-triangular infinitesimal Hom-bialgebras, the associative Hom-Yang-Baxter equation, and homological perturbation of the comultiplications in infinitesimal Hom-bialgebras. The relationships between infinitesimal Hom-bialgebras, Hom-Lie bialgebras, and the classical Hom-Yang-Baxter equation are also studied.

研究の動機と目的

• 無限小代数をホモ代数設定に一般化し、ねじれ写像 α を用いて無限小ホモ代数を定義すること。
• アソシエイティブ・ホモヤンガーベーテル方程式（AHYBE）をAYBEのホモ版とし、古典的ホモヤンガーベーテル方程式（CHYBE）と関連付けること。
• 2つのねじれ原理を開発する：1つは既存の ε-代数と準同型から新しい ε-ホモ代数を生成するもので、もう1つは1つの構造から系列を導出するものである。
• コブダリィおよび準三角的 ε-ホモ代数を定義・研究し、アグイアールの構成をホモ設定に一般化すること。
• ε-ホモ代数におけるAHYBEの反対称解が、(co)交換子括弧を用いて準三角的ホモリーバイアレジスを誘導することを示すこと。

提案手法

• ホモ結合的代数およびホモコアソシエイティブコールズとしての ε-ホモ代数を定義し、その余乗法 Δ が A⊗A に倣うホモ代数コホモロジーにおける1-コサイクルであることを要請する。
• AYBEのホモ版としてのアソシエイティブ・ホモヤンガーベーテル方程式（AHYBE）を導入し、解 r が (α⊗α)(r) = r およびねじれコサイクル条件を満たすことを要請する。
• 第一のねじれ原理を確立する：任意の ε-代数 A と代数準同型 α: A → A に対して、乗法 μα = α∘μ および余乗法 Δα = (α⊗α)∘Δ を持つ新しい ε-ホモ代数 Aα を構成する。
• 第二のねじれ原理を確立する：任意の ε-ホモ代数から、ねじれ写像 α を繰り返し適用することで、ε-ホモ代数の系列を生成する。
• コブダリィ ε-ホモ代数を、r が α-不変で、Δ = [−, r]_*（ホモ代数的意味での主導出）であるようなものとして定義する。
• （co）交換子括弧を用いて、準三角的 ε-ホモ代数からホモリーバイアレジスを構成し、AHYBE の反対称解がホモリーバイアレジス設定における CHYBE の解を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小代数の概念をホモ代数設定にどのように一般化できるか。また、ε-ホモ代数の定義的公理は何か。
• RQ2 アソシエイティブ・ヤンガーベーテル方程式（AYBE）のホモ版とは何か。また、これは古典的ホモヤンガーベーテル方程式（CHYBE）とどのように関係するか。
• RQ3 ホモ代数におけるねじれ原理を ε-ホモ代数に拡張できるか。また、それらは既知の構造から新しい例をどのように生成するか。
• RQ4 ε-ホモ代数における AHYBE の解が、どのような条件下で準三角的ホモリーバイアレジスを誘導するか。
• RQ5 ε-ホモ代数におけるコブダリィおよび準三角的構造は、それらのホモリーバイアレジス版とどのように関係するか。

主な発見

• 第一のねじれ原理により、任意の ε-代数と代数準同型 α から ε-ホモ代数を構成可能であり、クレインカークォーヴァーなどのクイバーからの明示的例が得られる。
• 第二のねじれ原理により、反復ねじれ写像を適用することで、導出された ε-ホモ代数から元の ε-代数を回復可能であり、クレインカークォーヴァーの ε-代数で確認されている。
• 2次元のホモ結合的代数 Aα で α(x) = x かつ α(y) = cx + y とするとき、r = y⊗x − x⊗y は α-不変であり、AHYBE を満たし、これにより準三角的 ε-ホモ代数が得られる。
• α(x) = ax かつ a ≠ 0 のとき、反復ねじれ (α⊗α)^n(r) = a^n r であり、r が Aα における AHYBE の反対称解の族を生成することを示す。
• ε-ホモ代数における AHYBE の反対称解は、（co）交換子括弧を用いて、関連するホモリーバイアレジス設定における CHYBE の解を誘導する。これはコロナリー 7.9 で形式化されている。
• [−,−] = μ∘(Id−τ), δ = (Id−τ)∘Δ, かつ r が AHYBE の反対称解であるとき、(A, [−,−], δ, α, r) は準三角的ホモリーバイアレジスをなす。