[論文レビュー] Instantons and framed sheaves on Kähler Deligne-Mumford stacks

Philippe Eyssidieux, Francesco Sala|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ALE空間の型$A_{k-1}$の軌道的コンパクト化を用いて、ドナルドソン＝ウーレンバック＝ヨウ対応のスタック的一般化を確立する。これは、$\mathscr{X}_k$ 上の正則ベクトル束に沿った平坦なユニタリ接続を持つものと、非コンパact ALE空間$X_k$ 上のヘルメート・アインシュタインベクトル束で、曲率が$L^2$かつ無限遠でのホロノミーが一致するものとの間の一対一対応を示す。この枠組みは、軌道的コンパクト化とスタック上の微分幾何学を用いて、ゲージ理論的結果をケーラー・デリーニ＝ムーディー・スタックへ拡張する。

ABSTRACT

We provide stacky generalizations of classical gauge-theoretic results inspired by Donaldson, the Uhlenbeck-Yau theorem and variants due to Bando and his collaborators. Moreover, we show an application of this machinery in the study of ALE spaces.

研究の動機と目的

• 古典的ゲージ理論的結果（ウーレンバック＝ヨウの定理やバンドーの定理など）を、ケーラー・デリーニ＝ムーディー・スタックの設定へ拡張すること。
• $A_{k-1}$型のALE空間にドナルドソンの対応を適用する際の障害を解消すること。これは、無限遠点での基本群が自明でないため、標準的な滑らかなコンパクト化が機能しないためである。
• $A_{k-1}$特異点$\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$の最小解消$X_k$の軌道的コンパクト化$\mathscr{X}_k$を構成し、一般化された対応を可能にする。
• 正則ベクトル束が$\mathscr{X}_k$上にあり、コンパクト化除集合$\mathscr{D}_\infty$に沿って平坦なユニタリ接続を持つものと、$X_k$上にあり、曲率が$L^2$で無限遠でのホロノミーが一致するヘリュエート・アインシュタイン束との間の一対一対応を確立すること。

提案手法

• 滑らかなデリーニ＝ムーディー・アナリティックおよび微分可能スタックへの微分幾何学の適応を行い、スタック的設定におけるヘリュエート・アインシュタイン計量を定義する。
• $X_k = \widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}$の軌道的コンパクト化$\mathscr{X}_k$を、$[\mathbb{C}^2 \setminus \{0\} / (\mathbb{C}^* \times \mu_k)]$としてのグローバル商スタックとして用いる。$\mathscr{D}_\infty$は滑らかで有効なカーティエ除集合である。
• スタック上の正の線束の理論を適用し、$\mathcal{O}_{\mathscr{X}_k}(\mathscr{D}_\infty)$がキャラクター表現を介して、$\mathscr{D}_\infty$上で正であり、かつその上で非常に正であることを示す。
• ホモトピー完全列と基本群の計算を用いて、$\pi_1(\mathscr{D}_\infty^{\text{top}}) \simeq \mathbb{Z}_k$を示し、これにより一貫したホロノミー情報が得られることを保証する。
• スタック的ウーレンバック＝ヨウ定理を用いて、$X_k$ 上のヘリュエート・アインシュタイン計量と、$\mathscr{X}_k$ 上の多様体的安定束との関係を確立する。曲率の可積分性が重要な条件である。
• 束の引き戻しと拡張を用いて対応を確立し、無限遠でのホロノミーが$\mathscr{D}_\infty$ 上の平坦ユニタリ接続と一致することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なドナルドソン対応（インスタントンとフレームドベクトル束との間の対応）は、$A_{k-1}$型の非コンパクト4次元多様体（特に、基本群が自明でないもの）へ一般化可能か？
• RQ2 ケーラー・デリーニ＝ムーディー・スタックへヘリュエート・アインシュタインおよびウーレンバック＝ヨウ型の定理を拡張するにあたり、適切なスタック的枠組みとは何か？
• RQ3 無限遠点での基本群が自明でないALE空間のコンパクト化を、ゲージ理論的対応を保つ形で構成する方法は何か？
• RQ4 コンパクト化除集合$\mathscr{D}_\infty$の軌道的構造が、コンパクト化側と非コンパクト側の間のホロノミー情報の一致に果たす役割は何か？
• RQ5 非コンパクトALE空間上にヘリュエート・アインシュタイン計量を持つ場合、それが、除集合に沿って平坦な接続を持つ軌道的コンパクト化上の正則ベクトル束に引き上げられる条件は何か？

主な発見

• 正則ベクトル束が$\mathscr{X}_k$上にあり、固定された束$\mathcal{F}_\infty$に同型で、除集合$\mathscr{D}_\infty$に沿って平坦ユニタリ接続$\nabla$を持つものと、$X_k$上にあり、曲率が$L^2$で無限遠でのホロノミーが$\nabla$と一致するヘリュエート・アインシュタインベクトル束との間には一対一対応が存在する。
• $\mathscr{X}_k$は、$\mathscr{D}_\infty$が滑らかで有効なカーティエ除集合であり、$\mathcal{O}_{\mathscr{X}_k}(\mathscr{D}_\infty)$が非常に正で、$\mathscr{D}_\infty$上で正である、射影的トーリックデリーニ＝ムーディー・スタックである。
• $\mathscr{D}_\infty$の位相的実現の基本群は$\pi_1(\mathscr{D}_\infty^{\text{top}}) \simeq \mathbb{Z}_k$であり、これにより非自明なホロノミー情報を一貫して符号化できる。
• $\mathcal{O}_{\mathscr{X}_k}(\mathscr{D}_\infty)$は、$\mathbb{C}^* \times \mu_k$上の射影特性に関連しており、その$\tilde{k}k$重のテンソル積は、射影的完成への正の線束の引き戻しと同型であるため、$\mathscr{D}_\infty$上で正である。
• バンドーの結果を一般化しており、$k=2$の場合に限らない、非自明なホロノミー（自明でないホロノミー）を許容する。
• $X_k$上でのヘリュエート・アインシュタイン計量の曲率は$L^2$可積分である：$\int_{\mathscr{X}_k} |\Theta(\mathcal{E}', h')|^2 < +\infty$。これは、対応が成り立つために不可欠な条件である。