[論文レビュー] Ising Quantum Chains

Dragi Karevski|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2006

Theoretical and Computational Physics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ジョルダン＝ヴァイナー変換および正準対角化を用いた正確な解法に焦点を当て、自由フェルミオン系の量子スピン鎖について包括的なレビューを提供する。表面磁化からの全零温量子相図の再構築法を確立し、均一系における非平衡ダイナミクスにおけるアーリング現象を示し、準位的および不規則な摂動（レヴィ型不規則性や非一様不規則性を含む）下での臨界行動を分析する。

ABSTRACT

The aim of this article is to give a pedagogical introduction to the exact equilibrium and nonequilibrium properties of free fermionic quantum spin chains. In a first part we present in full details the canonical diagonalisation procedure and review quickly the equilibrium dynamical properties. The phase diagram is analysed and possible phase transitions are discussed. The two next chapters are concerned with the effect of aperiodicity and quenched disorder on the critical properties of the quantum chain. The remaining part is devoted to the nonequilibrium dynamical behaviour of such quantum chains relaxing from a nonequilibrium pure initial state. In particular, a special attention is made on the relaxation of transverse magnetization. Two-time linear response functions and correlation functions are also considered, giving insights on the nature of the final nonequilibrium stationnary state. The possibility of aging is also discussed.

研究の動機と目的

• 自由フェルミオン系スピン鎖に対する正準対角化法を体系的に提示し、解析的扱いやすさと正確な解法に重点を置く。
• 表面磁化が全零温量子相図を推定可能であることを示し、ボリューム計算の低コスト代替手段を提供する。
• 非平衡リラクゼーションダイナミクス、特に横磁化および二時刻相関関数を分析し、決定論的量子系におけるアーリング現象を明らかにする。
• 不規則な変調およびクエンチ済み不規則性（レヴィ分布を用いた結合定数や非一様不規則性を含む）が臨界行動と普遍性に与える影響を調査する。
• XX鎖とイジング鎖における保存則の有無の異なるダイナミクスを比較し、異なる対称性にもかかわらず長時間リラクゼーションにおいて類似の挙動を示すことを示す。

提案手法

• スピン演算子を非相互作用フェルミオンに写像するためのジョルダン＝ヴァイナー変換の使用により、ハミルトニアンの正確な対角化が可能になる。
• 時間順序付き相関関数（特に横スピン相関）の計算に、ウィックの定理およびフェルミオンの縮約を適用する。
• フェルミオン演算子のハイゼンベルグ方程式を導出し、非平衡時間発展およびリラクゼーションダイナミクスを研究する。
• 特にエネルギースケールの広がりが大きい臨界点近傍で効果的な、ランダムな横スピンイジング鎖に対する、類似した縮約群（RG）アプローチを採用する。
• スケーリング挙動および異方的臨界指数に基づく、不規則な変調の重要性基準を確立する。
• 二時刻相関関数の解析的取り扱いにより、待ち時間と測定時間の両方に明示的な依存性を示すアーリングを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由フェルミオン系スピン鎖の全零温量子相図は、表面磁化のみから再構築可能か？
• RQ2 不規則性やクエンチングなしに、均一で決定論的な量子スピン鎖の非平衡ダイナミクスにおいて、アーリングはどのように現れるか？
• RQ3 不規則な変調は臨界行動にどのような影響を及ぼし、弱い普遍性はこのような系でも保持されるか？
• RQ4 レヴィ型不規則性や非一様不規則性は、ガウス不規則性と比較して、ランダムな横スピンイジング鎖の臨界的性質をどのように変化させるか？
• RQ5 保存則あり（XX鎖）と非保存則あり（イジング鎖）の系が、臨界定域でどの程度類似したリラクゼーション挙動を示すか？

主な発見

• 表面磁化は、自由フェルミオン系スピン鎖の全零温相図を完全かつ計算的に効率よく決定する手段を提供する。
• 零温では横スピン相関が時間に対して代数的減衰を示し、無限温ではガウス的減衰を示す。中間領域では指数的減衰がべき則で調制される。
• 臨界定域のイジング鎖およびXX鎖の二時刻相関関数において、待ち時間と測定時間の両方に明示的な依存性を示すアーリングが観測され、不規則性が存在しない状況でも成立する。
• レヴィ分布を用いた結合定数を有するランダムな横スピンイジング鎖では、広いエネルギースケール分布が強不規則性固定点を支持し、非普遍的臨界指数をもたらす。
• べき則的空間変化を示す非一様不規則性は、臨界行動を変化させる重要または臨界定数をもたらし、均一不規則性とは異なる表面磁化スケーリングを示す。
• XX鎖およびイジング鎖における横磁化の長時間リラクゼーションは、初期状態と解析的に導出された応答カーネルとの畳み込みで記述され、非保存ダイナミクスであるにもかかわらず、イジングモデルでも保存則に類似したリラクゼーションプロセスが示唆される。