[論文レビュー] Lie II theorem for Lie algebroids via higher groupoids

Chenchang Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意のリー代数的群係数体（リー代数的群係数体）が可積分であるか否かにかかわらず、それを可積分化する普遍的な源-2連結リー2群係数体（普遍的W群係数体）を構成することにより、リー代数的群係数体に対するリーII定理を確立する。この普遍的W群係数体は、源の2連結性を満たし、任意のリー代数的群係数体を可積分化する。また、リー代数的群係数体の準同型が、これらの高階群係数体への一意的な上昇を有することが証明され、古典的なリーII定理を高階微分スタックの文脈に一般化し、完全な函手的可積分手続きを提供する。

ABSTRACT

Following Sullivan's spacial realization of a differential algebra, we construct a universal integrating Lie 2-groupoid for every Lie algebroid. Then We show that unlike Lie algebras which one-to-one correspond to simply connected Lie groups, Lie algebroids (integrable or not) one-to-one correspond to a sort of etale Lie 2-groupoids with 2-connected source fibres. Finally, we discuss how to lift Lie algebroid morphisms to Lie 2-groupoid morphisms (Lie II Theorem).

研究の動機と目的

• 古典的なリーII定理（リー代数の準同型がリー群の準同型に対応すること）を、リー代数的群係数体と高階群係数体の文脈に拡張すること。
• すべてのリー代数的群係数体が古典的にリー群係数体に可積分されないという問題を解決するため、微分スタックの圏における普遍的可積分対象を導入すること。
• リー代数的群係数体と、源のファイバーが2連結である特別なクラスのエタールリー2群係数体との間の一対一対応を確立することにより、リーIII定理を一般化すること。
• リー代数的群係数体の準同型を、普遍的可積分リー2群係数体の準同型へ函手的に上昇させる手続きを提供すること。

提案手法

• 頂点で消えるリー代数的群係数体の準同型 $ T\triangle^i \to A $ からなる単体的集合 $ S(A) $ を構成し、$ A $-パスと $ A $-ホモトピーを符号化する。
• $ S(A) $ にカーン補完を適用して、源-2連結である普遍的リー2群係数体 $ \mathcal{G}(A) $ を得る。
• スタック的群係数体とモリタ同値を用いて、$ \mathcal{G}(A) $ を微分スタック上の群係数体として表現し、幾何的およびホモトピー的構造と整合性を保つ。
• 主にガーベと中心拡大を含む群係数体の提示を用いて、普遍的W群係数体 $ \mathcal{G}(A) $ を定義する。例えば $ TS^2 $ に対しては $ \tilde{S}^2 \times \tilde{S}^2 / B\mathbb{Z} $ となる。
• ホモトピー完全列とスタック論的技法を用いて、$ \mathcal{G}(A) $ が $ A $ を普遍的に可積分化する対象であり、源のファイバーが2連結であることを示す。
• 任意のリー代数的群係数体の準同型 $ A \to B $ が、普遍的リー2群係数体の準同型 $ \mathcal{G}(A) \to \mathcal{G}(B) $ に一意的に上昇することを証明し、この文脈におけるリーII定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分性が古典的意味で成立しないリー代数的群係数体に対しても、普遍的可積分対象を構成できるか？
• RQ2 リー代数的群係数体の文脈で、単連結リー群を一般化する正しい高階群係数体構造は何か？
• RQ3 リー代数的群係数体の準同型を、函手的に可積分対象の準同型へ上昇させることは可能か？
• RQ4 特に $ \pi_2 $ といった高階ホモトピー群は、リー代数的群係数体の可積分化においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 $ \mathcal{G}(A) $ の構成は、ポアソンシグマ模型やホフプ法線など既知の幾何的対象とどのように関係しているか？

主な発見

• リー代数的群係数体 $ A $ から構成される普遍的W群係数体 $ \mathcal{G}(A) $ は源-2連結であり、その源ファイバーの $ \pi_1 $ と $ \pi_2 $ が自明であるため、最大の連結性を満たす。
• $ TS^2 $ の場合、普遍的可積分リー2群係数体は $ \tilde{S}^2 \times \tilde{S}^2 / B\mathbb{Z} $ であり、ここで $ \tilde{S}^2 $ はホフプ法線に対応する $ B\mathbb{Z} $-ガーベである。この対象の源ファイバーにおける $ \pi_2 $ は自明である。
• リー代数的群係数体の $ A $-パスと $ A $-ホモトピーを符号化する単体的集合 $ S(A) $ のカーン補完により構成される $ \mathcal{G}(A) $ は、スタック的リー2群係数体として、$ A $ を普遍的かつ函手的に可積分化する。
• $ \mathcal{G}(A) $ は、$ A $ が古典的意味で可積分でない場合でも、微分スタックへ移行することで、$ A $ を完全に可積分化する。
• この文脈においてもリーII定理が成立する：任意のリー代数的群係数体の準同型 $ A \to B $ は、一意的に普遍的リー2群係数体の準同型 $ \mathcal{G}(A) \to \mathcal{G}(B) $ へ上昇する。これは古典的結果の一般化である。
• $ \mathcal{G}(TS^2) $ のホモトピー群は $ \pi_2(\text{源ファイバー}) = \pi_1(B\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} $ を満たすが、$ B\mathbb{Z} $-作用のおかげで、全源ファイバーの $ \pi_2 $ は自明である。これは2連結性の確認である。