[論文レビュー] Limit theorems and absorption problems for quantum random walks in one dimension

Norio Konno|ArXiv.org|Oct 2, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、新しいPQRS組み合わせ的技法を用いて、1次元量子ランダムウォーク（QRW）の2種類のタイプ—G型（Gudder）およびA型（Ambainisら）—の極限定理と吸収確率を確立する。限界分布、対称性、吸収確率における顕著な差が明らかになり、A型QRWはG型よりも原点への吸収確率が高くなることが示され、有限および無限系においてスペクトル解析と母関数を用いて正確な境界が導出された。

ABSTRACT

In this paper we consider limit theorems, symmetry of distribution, and absorption problems for two types of one-dimensional quantum random walks determined by 2 times 2 unitary matrices using our PQRS method. The one type was introduced by Gudder in 1988, and the other type was studied intensively by Ambainis et al. in 2001. The difference between both types of quantum random walks is also clarified.

研究の動機と目的

• G型とA型の1次元量子ランダムウォークの行動における根本的な相違を明確化すること。
• フーリエ解析を避けて、組み合わせ的PQRS法を用いて両タイプのQRWの極限定理を導出すること。
• 有限および無限系における両QRWタイプの吸収確率および最初の到達時刻のモーメントを分析すること。
• 母関数およびスペクトル法を用いて、吸収確率および条件付きモーメントの正確な表現を提供すること。

提案手法

• PQRS法は時間発展を左および右のチラリティ状態に作用する演算子PとQに分解し、PとQはユニタリ行列Uによって定義される。
• 振幅の時間発展は、|Ψ_{j,k}(n+1)⟩ = P_j |Ψ_{j,k+1}(n)⟩ + Q_j |Ψ_{j,k-1}(n)⟩ で表され、A型とG型QRWで異なるPおよびQ行列が使用される。
• 有限系では母関数と境界条件を用いて、確率母関数p_k^{(N)}(z)およびr_k^{(N)}(z)の表現を導出する。
• スペクトル解析と留数積分を用いて、単位円上での積分により吸収確率を計算する：P^{(N)}_{j,k}(φ) = ∫ |⋯|² dθ / (2π)。
• この手法により、ベッセル関数および特性方程式の根を用いて、吸収確率およびモーメントを正確に計算できる。
• ハダマードウォーク（U = H）の場合、N ≥ 2に対して明示的な公式が得られ、Besselに類似した和を含むr_1^{(N)}(z)の閉形式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元におけるA型とG型量子ランダムウォークの極限定理はどのように異なるか？
• RQ2 各QRWタイプの確率分布の対称性構造は何か？
• RQ3 有限および無限系における両QRWタイプの原点への正確な吸収確率は何か？
• RQ4 最終的に吸収が起こる条件下での最初の到達時刻のモーメントはどのように振る舞うか？
• RQ5 PQRS法とQRW時間発展のスペクトル的性質との明確な関係は何か？

主な発見

• 無限系において、k=1から原点への吸収確率は、A型およびG型QRWの両方で (4−π)/π ≤ P_{j,1}^{(∞)}(φ) ≤ 1 を満たす。
• k=1から0への最初の到達時刻の条件付き1次モーメントは、E_{j,1}^{(∞)}(T_0|T_0<∞) = 1 / P_{j,1}^{(∞)}(φ) であり、m≥2の高次モーメントは発散する。
• 有限N≥2において、吸収確率P^{(N)}_{A,1}(φ)はα, βに関する二次形式として表され、係数に∫ |r_1^{(N)}(e^{iθ})|² dθ / (2π) を含み、初期状態に明示的な依存性を示す。
• 初期状態がk=1で|R⟩のハダマードウォークにおいて、N=2,…,6について式(4.6)の予想が成立する。
• r_1^{(N)}(z)の明示的公式が導出され、r_1^{(2)}(z)=0、r_1^{(3)}(z)=z³/(2−z²)、N≥4では r_1^{(N)}(z) = −z² J_{N-3}(z) J_{N-4}(z) / [√2 (J_{N-3}(z))² − z J_{N-3}(z) J_{N-4}(z) − √2 (−1)^{N-3}] が成り立つ。
• G型QRWのk=1における吸収確率は、P^{(N)}_{G,1}(φ) = |α|² + (∫ |r_1^{(N)}(e^{iθ})|² dθ / 2π) |β|² で表され、A型に比べて初期状態への依存がより単純であることが示された。