[論文レビュー] Symmetry of distribution for the one-dimensional Hadamard walk

Norio Konno, Takao Namiki+1 more|ArXiv.org|May 13, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハダマール行列によって駆動される1次元ハダマール量子ランダムウォークの確率分布の対称性特性を調査する。アモイチュード状態における遷移行列形式とPおよびQ作用素による経路分解を用いて、アモイチュード分布の正確な表現を導出し、特定の初期条件の下で分布が反射対称性を示すことを証明する。主な結果として、すべてのl, mについてrₙ(l,m) = sₙ(l,m)が成り立つことにより、確率分布が対称であることが示される。

ABSTRACT

In this paper we study a one-dimensional quantum random walk with the Hadamard transformation which is often called the Hadamard walk. We construct the Hadamard walk using a transition matrix on probability amplitude and give some results on symmetry of probability distributions for the Hadamard walk.

研究の動機と目的

• 1次元ハダマール量子ウォークにおける確率分布の対称性特性を分析すること。
• ハダマール行列によって制御されるユニタリな時間発展が、位置空間において構造的かつ対称的な分布をどのように生じさせるかを理解すること。
• 任意の時刻ステップにおけるウォークの状態ベクトルのアモイチュード係数の正確な解析的表現を導出すること。
• 初期状態が対称である場合に、アモイチュード分布が空間反転に対して対称であることを確立すること。

提案手法

• 有限サイズ(2N+1)の格子上でのユニタリ遷移行列H̄ₙを用いて、位置・チラリティアモイチュード状態に作用させることでハダマールウォークをモデル化する。
• 非ユニタリな射影作用素PとQを定義し、ハダマール発展を左移動成分と右移動成分に分解する。
• nステップ発展を、γ（クラスタ数）およびw = (w₁,…,w₂ᵧ)（クラスタサイズ）でパラメータ化されたPとQのブロックの交互なクラスタ列に分解して分析する。
• 右移動経路と左移動経路それぞれについて、有効なクラスタ列の組み合わせの総和を用いて、アモイチュード係数C(r,w)ₙ⁽²ᵞ⁾(l,m)およびC(s,w)ₙ⁽²ᵞ⁾(l,m)を導出する。
• 母関数と二項係数の恒等式を用いてγに関する和を簡略化し、全アモイチュードrₙ(l,m)およびsₙ(l,m)の閉形式表現を導出する。
• すべてのl, mについてrₙ(l,m) = sₙ(l,m)が成り立つことを証明し、これは確率分布が原点に関して対称であることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元ハダマール量子ウォークの確率分布は、対称な初期条件のもとで空間的対称性を示すか？
• RQ2 時刻nにおけるウォークの位置およびチラリティ状態のアモイチュード係数の正確な解析的形は何か？
• RQ3 PおよびQブロックへの経路分解とクラスタ数の変化がアモイチュード分布にどのように影響するか？
• RQ4 数値シミュレーションではなく、アモイチュードレベルの解析を用いて分布の対称性を厳密に証明できるか？
• RQ5 位置lとmに終了する経路におけるアモイチュード係数rₙ(l,m)とsₙ(l,m)の関係は何か？

主な発見

• ハダマールウォークのアモイチュード係数は、すべてのl, m ≥ 0についてrₙ(l,m) = sₙ(l,m)を満たし、確率分布が原点に関して対称であることを証明する。
• 正確なアモイチュード表現は、rₙ(l,m) = (1/√2)ⁿ⁻¹ (−1)ᵐ ∑_{γ=1}^{l∧m} (−1)ᵞ (l−1 choose γ−1)(m−1 choose γ−1) であり、l, m ≥ 1の範囲で有効である。
• l∧m = 0（すなわちlまたはmの一方が0である）の場合、アモイチュードrₙ(l,m) = 0となり、非対称な経路タイプを持つ位置にはアモイチュードが存在しないことを示す。
• 弱極限分布のm次のモーメントは、E((Z^φ)^{2n}) = 1 − (1/√2) ∑_{k=0}^{n−1} (1/8ᵏ) (2k choose k) で与えられ、E((Z^φ)²) = (2−√2)/2 である。
• 導出結果から、アモイチュード分布が空間反転に対して不変であることが確認され、これはPおよびQのシーケンスにおける経路の対称性に起因する。
• 初期チラリティ状態φが原点に局在している限り、その値に関わらず結果は成り立ち、これはウォークのユニタリ構造とPおよびQ作用素の直交性に依存する。