[論文レビュー] Log canonical models for the moduli space of pointed stable rational curves

Han‐Bom Moon|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、F予想を仮定せずに、点付き安定有理曲線のモジュライ空間 $\overline{M}_{0,n}$ における $K_{\overline{M}_{0,n}} + \sum a_i\psi_i$ の対数 canonical モデルが、ハッセットの重み付き点付き安定有理曲線のモジュライ空間 $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ に同型であることを証明する。証明は、除数類のプッシュダウン・プッシュアップと正性の議論を用いて、 canonical 除数のプッシュダウンが非常に正であることを示し、ハッセットの空間に直接一致する双有理モデルを確立する。

ABSTRACT

We run Mori's program for the moduli space of pointed stable rational curves with divisor $K +\sum a_{i}ψ_{i}$. We prove that, without assuming the F-conjecture, the birational model for the pair is the Hassett's moduli space of weighted pointed stable rational curves, without any modification of weight coefficients.

研究の動機と目的

• Moriのプログラムを用いて、除数 $K_{\u005Coverline{M}_{0,n}} + \sum a_i\psi_i$ を用いて $\u005Coverline{M}_{0,n}$ の双有理モデルを確立すること。
• このモデルが任意の重みデータ $\mathcal{A} = (a_1, \dots, a_n)$ に対してハッセットのモジュライ空間 $\u005Coverline{M}_{0,\mathcal{A}}$ に同型であることを証明すること。
• 先行研究で対数 canonical モデルと重み付きモジュライ空間を結びつける際に仮定されていた F予想を排除すること。
• プッシュダウンと正性の議論を通じて、対数 canonical モデルが $\u005Coverline{M}_{0,\mathcal{A}}$ としてのモジュライ的解釈を提供すること。

提案手法

• $\overline{M}_{0,n}$ と $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ 上の除数類のプッシュフォワードとプルバックを計算し、$\Delta_{\mathcal{A}} = K_{\u005Coverline{M}_{0,n}} + \sum a_i\psi_i$ を削減写像 $\varphi_{\mathcal{A}}$ と関連付ける。
• $\Delta_{\mathcal{A}} - \varphi_{\mathcal{A}}^*\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ が有効であり、$\varphi_{\mathcal{A}}$ の例外的集合上に台を持つことを示す。
• [Deb01, Lemma 7.11] を用いて、$\overline{M}_{0,n}$ 上の $\mathcal{O}(l\Delta_{\mathcal{A}})$ の全局的切断を $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ 上のそれと同定する。
• すべての曲線と非負に交わることと、境界除数による小さな摂動でネフの極限であることを示して、$\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ が $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ 上で非常に正であることを証明する。
• Fedorchukの正性結果と次元に関する帰納法を用いて、$\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ のネフ性を確立する。
• $N^1(\overline{M}_{0,\mathcal{A}})$ が境界除数によって生成されることを用い、すべての曲線と非負に交わることから、非常に正であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F予想を仮定せずに、$\overline{M}_{0,n}$ の対数 canonical モデル $K_{\u005Coverline{M}_{0,n}} + \sum a_i\psi_i$ はハッセットのモジュライ空間 $\u005Coverline{M}_{0,\mathcal{A}}$ に同型であるか？
• RQ2 除数のプッシュダウン・プッシュアップと正性技法を用いて、$\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ が $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ 上で非常に正であることを示せるか？
• RQ3 対数 canonical モデルの構成 $\mathrm{Proj}\big(\bigoplus H^0(\overline{M}_{0,n}, \mathcal{O}(l\Delta_{\mathcal{A}}))\big)$ は、$\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ をモジュライ空間として得るか？
• RQ4 もし $\varphi_{\mathcal{A}}^*\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ が対数 canonical でない場合でも、$\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ の非常に正性を確立できるか？

主な発見

• 任意の重みデータ $\mathcal{A} = (a_1, \dots, a_n)$ に対して、対数 canonical モデル $\overline{M}_{0,n}(K_{\u005Coverline{M}_{0,n}} + \sum a_i\psi_i)$ は $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ に同型であり、F予想を仮定しない。
• プッシュフォワード $\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ は $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ 上で非常に正であり、これは対数 canonical モデルの同型を示唆する。
• 証明は、$\Delta_{\mathcal{A}} - \varphi_{\mathcal{A}}^*\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ が有効であり、例外的集合上に台を持つことから、$\overline{M}_{0,n}$ 上の $\mathcal{O}(l\Delta_{\mathcal{A}})$ の切断が $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ 上のそれと対応することを根拠としている。
• 正性と帰納法を用いて、$\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}})$ のネフ性が確立され、すべての曲線と非負に交わること、境界除数による摂動でもネフのまま保たれることを示した。
• すべての $\overline{M}_{0,\mathcal{A}}$ 上の既約曲線 $B$ に対して、交差数 $\varphi_{\mathcal{A}*}(\Delta_{\mathcal{A}}) \cdot B$ に正の下界 $\epsilon_{\mathcal{A}}$ が存在する。
• この結果は、シンプソンの定理（定理1.2）を非対称な重みへ一般化する。対称な場合、恒等式 $K_{\u005Coverline{M}_{0,n}} + \alpha\psi = (1+\alpha)(K_{\u005Coverline{M}_{0,n}} + \frac{2\alpha}{1+\alpha}D)$ を用いて既知の結果が回復される。