[論文レビュー] Logical reloading as overcoming of crisis in geometry

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、現代幾何学における危機——幾何学が幾何的直感ではなく抽象論理的構成に還元される状況——を解決するため、ユークリッド幾何学を基礎的概念を変更することで再構築する「論理的再充填（logical reloading）」を提案する。世界関数に基づく（$\sigma$-表現）形式に移行することで、幾何学の本来の焦点である形状と空間的関係性が回復され、公理的でない多様性を持つ幾何学の構築が可能になる。これは、素粒子物理学および宇宙論における物理的時空のモデル化に不可欠な幾何学的構造を提供する。

ABSTRACT

Properties of the logical reloading in the Euclidean geometry are considered. The logical reloading is a logical operation which replaces one system of basic concepts of a conception by another system of basic concepts of the same conception. The logical reloading does not change propositions of the conception. However, generalizations of the conception are different for different systems of basic concepts. It is conditioned by the fact, that some systems of basic concepts contain not only propositions of the conception, but also some attributes of this conception description. Properties of the logical reloading are demonstrated in the example of the proper Euclidean geometry, whose generalization leads to different results for different system of basic concepts.

研究の動機と目的

• 現代幾何学における危機に取り組むこと——幾何学が形状および空間的配置の科学としてではなく、純粋論理的構成として扱われる状況。
• 論理的再充填——基礎的概念を置き換えても幾何的内容に変化を加えないこと——が、表現の違いによって示される一般化可能性の差を明らかにすること。
• 世界関数$\sigma$にのみ依拠する$\sigma$-表現が、一般化能力を最大限に発揮し、多様性を持つ非公理的幾何学を可能にすること。
• 微細物理学および宇宙論における物理的時空幾何学が、従来の微分幾何学を超える非リーマン的で離散的な幾何学を必要とすること。
• 物理的基礎としての計量幾何学への回帰を提唱するが、これには変形原理および$\sigma$-表現が統合され、新たな力強さが与えられる。

提案手法

• 論理的再充填は、同一の幾何的概念を異なる基本的概念で再表現する論理的操作として形式化され、すべての命題は保存されるが、一般化可能性が変化する。
• $\sigma$-表現は、世界関数$\sigma(P,Q) = \frac{1}{2}(\rho^2(P,Q))$を唯一の原始的対象として用い、ベクトル空間や座標系を置き換える。
• 球、楕円体、線分といった幾何的対象は、距離関係のみを用いて定義され、例えば$\mathcal{T}_{[F_1F_2]} = \{ R \mid \rho(F_1,R) + \rho(F_2,R) = \rho(F_1,F_2) \}$のように表される。
• ユークリッド幾何学の$\sigma$-表現に変形原理を適用することで、非ユークリッド的で多様性を持つ非公理的幾何学が生成され、物理的に意味を持つ。
• 本稿ではヘロンの公式および世界関数を用いた面積表現を用いて、論理的再充填における幾何的不変量を分析する。
• 力学において微分方程式に代わって有限差分方程式が用いられ、物理的時空幾何学の潜在的な離散性を反映する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 論理的再充填——基礎的概念の置き換え——が幾何理論の一般化能力にどのように影響するか？
• RQ2 $\sigma$-表現が他の表現と比較して、なぜユークリッド幾何学においてより大きな一般化能力を示すのか？
• RQ3 非ユークリッド的で多様性を持つ幾何学に論理的再充填を適用した場合、円柱のような幾何的対象はどのように変化するか？
• RQ4 非公理的幾何学が幾何的性質——すなわち、対象の形状および相対的配置——を保持できるのか、論理的構成に依存せずに？
• RQ5 変形原理を$\sigma$-表現に適用した場合、微細宇宙および宇宙論における物理的に関連する非リーマン的幾何学がどのように生成されるか？

主な発見

• 論理的再充填はすべての幾何的命題を保存するが、一般化可能性が変化し、$\sigma$-表現が最大の一般化能力を示す。
• $\sigma$-表現において、ユークリッド幾何学は世界関数$\sigma$のみで完全に記述可能であり、ベクトル空間などの補助構造を必要としない純粋計量的表現が可能になる。
• 距離関係$\rho(F_1,R) + \rho(F_2,R) = \rho(F_1,F_2)$で定義される線分$\mathcal{T}_{[F_1F_2]}$は、ユークリッド幾何学では1次元的であるが、三角不等式が破られる場合には非1次元的表面に変わる。
• 多様性を持つ幾何学では、$F_3$が同じ線分上にある場合でも、$Cl_{PF_1F_2}$と$Cl_{PF_1F_3}$という円柱は形状が異なり、ユークリッド幾何学における円柱が変形によって分裂することが示される。
• ユークリッド幾何学における式$Cl_{PF_1F_2} = Cl_{PF_1F_3}$は構造的同一性ではなく退化と解釈され、従来の幾何学における補助構造の役割が浮き彫りになる。
• 物理的時空幾何学は、有限差分方程式および非リーマン的で多様性を持つ幾何学によってより適切に記述可能であり、これらは$\sigma$-表現および変形原理から自然に導かれる。