[論文レビュー] Longtime existence of the Kähler-Ricci flow on $\Bbb C ^n$

Albert Chau, Ka-Fai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非有界な曲率仮定がなくても、非負の複素双曲的双断面曲率をもつ完全な $U(n)$-不変ケーラー計量に対する $$\mathbb{C}^n$ 上のケーラー・リッチフローの長期間存在および収束を確立する。このような解はすべての時間に対して存在し、初期計量と一様に同値のままであり、スケーリング後に標準的なユークリッド計量に収束する。これは、以前の結果を有界曲率の設定を超えて拡張するものである。

ABSTRACT

We produce longtime solutions to the Kähler-Ricci flow for complete Kähler metrics on $\Bbb C ^n$ without assuming the initial metric has bounded curvature, thus extending results in [3]. We prove the existence of a longtime bounded curvature solution emerging from any complete $U(n)$-invariant Kähler metric with non-negative holomorphic bisectional curvature, and that the solution converges as $t o \infty$ to the standard Euclidean metric after rescaling. We also prove longtime existence results for more general Kähler metrics on $\Bbb C ^n$ which are not necessarily $U(n)$-invariant.

研究の動機と目的

• 完全な $U(n)$-不変ケーラー計量で非負の複素双曲的双断面曲率をもつ $$\mathbb{C}^n$ 上のケーラー・リッチフローの長期間存在を確立すること。
• フロー解が初期計量と一様に同値のままであり、非負の双断面曲率を有することを証明すること。
• 時間 $t \to \infty$ のとき、スケーリング後に解が標準的なユークリッド計量に収束することを示すこと。
• $U(n)$-不変でないより一般的なケーラー計量に対しても、$U(n)$-不変計量で非負の双断面曲率をもち、最大体積成長を満たすものに拡張すること。
• 曲率の有界性がない状況下で、フローの一意性および長期的挙動を解明し、シーや他の研究者らの先行結果を一般化すること。

提案手法

• 著者たちは計量の $U(n)$-不変性を用いて、計量表現 $g_{i\bar{j}} = f_\xi(r)\delta_{ij} + f_\xi'(r)\bar{z}_i z_j$ を介し、$r = |z|^2$ における径数関数 $\xi(r)$ の時間発展方程式にケーラー・リッチフローを還元する。
• ウ・ジェングとヤンの公式を用いて曲率成分を解析し、複素双曲的双断面曲率を $\xi'$, $h_\xi$, $f_\xi$ の関数として表現し、非負性の条件を確立する。
• 完全性の保証には最大体積成長条件と、非負の双断面曲率をもつ完全な $U(n)$-不変計量が $\int_0^\infty \frac{\sqrt{h_\xi(s)}}{\sqrt{s}} ds = \infty$ を満たすという事実を用いる。
• 先行研究の結果（シーやカベサス＝リバス・ウィルキング）を応用し、事前推定と曲率の減衰制御を用いて、曲率の成長を制御し、長期間存在を保証する。
• 初期計量が互いに同値で、非負の双断面曲率をもつ場合、$g_0$ と $G_0$ のフローレンズがすべての時間で一様に同値のままであることを示す、比較的議論を用いる。
• 収束性はスケーリングにより確立される：$t \to \infty$ のとき、$\frac{1}{|V|_t^2}g(t)$ はコンパクト集合上で滑らかで一様に標準計量に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界曲率をもつ初期計量に対しても、非負の複素双曲的双断面曲率をもつ完全な $U(n)$-不変ケーラー計量に対する $$\mathbb{C}^n$ 上のケーラー・リッチフローがすべての時間にわたって存在するかどうかを示せるか？
• RQ2 フロー解が時間とともに初期計量と一様に同値のままであり、非負の双断面曲率を保つのか？
• RQ3 時間 $t \to \infty$ のとき、適切にスケーリングした後に解が標準的なユークリッド計量に収束するのか？
• RQ4 長期間存在および収束の結果を、$U(n)$-不変でないが、非負の双断面曲率をもち、最大体積成長を満たす $U(n)$-不変計量に同値なより一般的なケーラー計量へ拡張できるか？
• RQ5 曲率の有界性がない状況下で、初期計量と一様に同値な解のクラスにおいて、解は一意的か？

主な発見

• 非負の複素双曲的双断面曲率をもつ完全な $U(n)$-不変ケーラー計量に対して、$$\mathbb{C}^n$ 上のケーラー・リッチフローは、有界曲率がなくても滑らかで長期間にわたる $U(n)$-不変解をもつ。
• 解はすべての時間にわたって初期計量と一様に同値であり、有界で非負の双断面曲率をもつ。
• 時間 $t \to \infty$ のとき、原点付近でのスケーリング後に解は $$\mathbb{C}^n$ 上の標準的ユークリッド計量に滑らかで一様に収束する。収束はコンパクト部分集合上で成立する。
• 非負の双断面曲率と最大体積成長をもつ $U(n)$-不変計量に同値なより一般的なケーラー計量に対しても、フローは依然として一意な長期間解をもち、有界曲率をもつ。
• 初期計量 $g_0$ と一様に同値な解のクラス $\mathcal{S}(g_0)$ において、解は条件を満たす限り一意的である。
• すべての $t > 0$ に対して一様に $t \cdot \mathcal{R}(x,t) \leq c_1$ が成り立つ曲率減衰推定が成立し、これは比較的議論および長期間の制御の鍵となる。