[論文レビュー] On the Kahler Ricci flow on projective manifolds of general type

Bin Guo|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般型の射影多様体上のKähler-Ricci流れに対して、リッチ曲率に一様な下界が存在する場合、直径が一様に有界であることが示され、その結果、Gromov-Hausdorffの極限は canonical model と位相的に同相である。また、$K_X$ が大かつネフであるとき、Type III 流れが canonical バンドルのアンピール性を示す純解析的証明が与えられ、Tosatti-Zhang の結果を確認する。

ABSTRACT

We consider the Kähler Ricci flow on a smooth minimal model of general type, we show that if the Ricci curvature is uniformly bounded below along the Kähler-Ricci flow, then the diameter is uniformly bounded. As a corollary we show that under the Ricci curvature lower bound assumption, the Gromov-Hausdorff limit of the flow is homeomorphic to the canonical model. Moreover, we can give a purely analytic proof of a recent result of Tosatti-Zhang (\cite{TZ}) that if the canonical line bundle $K_X$ is big and nef, but not ample, then the flow is of Type IIb.

研究の動機と目的

• 一般型の最小モデル上でのKähler-Ricci流れにおいて、一様なリッチ曲率の下界が一様有界な直径をもたらすことを証明すること。
• リッチ曲率の下界仮定のもとで、流れのGromov-Hausdorff極限が canonical model と位相的に同相であることを確立すること。
• Tosatti-Zhangの結果を純解析的に証明すること：Kähler-Ricci流れがType IIIであれば、$K_X$ が大かつネフのとき $K_X$ はアンピールである。
• Kawamataの定理（大かつネフな $K_X$ の半アンピール性）に依存しないように、Songの解析的基点自由化法を用いて証明を構築すること。
• リッチ曲率の下界のもとで、流れが canonical model 上の canonical 距離に収束し、そのポテンシャルが有界であることを示すこと。

提案手法

• 初期Kähler計量 $\omega_0$ を持つ正規化Kähler-Ricci流れ方程式 $\frac{\partial\omega}{\partial t} = -\mathrm{Ric}(\omega) - \omega$ を用いる。
• 流れの解析に複素Monge-Ampère形式 $\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \log\frac{(\chi + e^{-t}(\omega_0 - \chi) + i\partial\bar{\partial}\varphi)^n}{\Omega} - \varphi$ を用いる。
• Cheeger-Colding-Tian理論を適用し、リッチ曲率の下界のもとでの正則集合を同定する。
• 特異除数 $D$ から離れた点における単位球の非崩壊性を用いて体積の下界を保証する。
• Shiの微分推定とODE比較を用いて、スカラー曲率およびリッチ曲率の時間発展を制御する。
• 極限空間の構造と等距同相を用いて、Gromov-Hausdorff極限を canonical model に、Kähler-Einsteinカレントを備えたものと同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kähler-Ricci流れに沿ってリッチ曲率の一様な下界が存在する場合、一般型の射影多様体上で直径が一様に有界になるか？
• RQ2 リッチ曲率の下界仮定のもとで、Kähler-Ricci流れのGromov-Hausdorff極限は canonical model と同定可能か？
• RQ3 Tosatti-Zhangの結果を純解析的に証明することは可能か？すなわち、Kähler-Ricci流れがType III（曲率が一様に有界）であれば、$K_X$ が大かつネフのとき $K_X$ はアンピールである。
• RQ4 大かつネフな $K_X$ の半アンピール性に関するKawamataの定理に依存せずに、証明を構築できるか？
• RQ5 流れの極限計量は、canonical model 上の canonical Kähler-Einsteinカレントと一致するか？

主な発見

• 一様なリッチ曲率の下界のもとで、$(X, \omega(t))$ の直径はすべての $t \geq 0$ に対して一様に有界であり、すなわち $\mathrm{diam}(X, \omega(t)) \leq C$（$C > 0$）が成り立つ。
• Gromov-Hausdorff極限 $(X_\infty, d_\infty)$ は、$X$ の canonical model $X_{\mathrm{can}}$ と位相的に同相であり、canonical model の正則部にKähler-Einsteinカレントを備えたものの距離完備化と等距同相である。
• 極限計量 $d_\infty$ は、$(X^\circ_{\mathrm{can}}, g_{KE})$ の完備化と等距同相であり、ここで $g_{KE}$ は有界な局所ポテンシャルを持つ一意のKähler-Einsteinカレントである。
• 正規化Kähler-Ricci流れがType III（曲率が一様に有界）であれば、$K_X$ が大かつネフのとき $K_X$ がアンピールであることを純解析的に証明した。
• Kawamataの定理を避けるために、Songの解析的基点自由化法を用い、リッチ曲率の下界と体積の非崩壊性にのみ依存する証明を構築した。
• 流れは canonical model 上の canonical 計量に収束し、解析的最小モデルプログラムの予想の部分的確認がなされた。