[論文レビュー] Lower bounds on the number of rounds of the quantum approximate optimization algorithm required for guaranteed approximation ratios

Naphan Benchasattabuse, Andreas Bärtschi+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、組合せ最適化問題に対して定数近似比を保証するためのQAOAラウンド数の理論的下界を初めて確立する。QAOAを量子アニーリングと結びつけ、問題ハミルトニアンとミキサーのハミルトニアンのスペクトルノルムの交換子を分析することで、ほとんどの問題に対してグローバー型ミキシングでは多項式ラウンドが必要であることを証明する。一方、非構造的探索のグローバー下界も回復する。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm, also known in its generalization as the quantum alternating operator ansatz, (QAOA) is a heuristic hybrid quantum-classical algorithm for finding high-quality approximate solutions to combinatorial optimization problems, such as maximum satisfiability. While the QAOA is well studied, theoretical results as to its runtime or approximation ratio guarantees are still relatively sparse. We provide some of the first lower bounds for the number of rounds (the dominant component of QAOA runtimes) required for the QAOA. For our main result, we (i) leverage a connection between quantum annealing times and the angles of the QAOA to derive a lower bound on the number of rounds of the QAOA with respect to the guaranteed approximation ratio. We apply and calculate this bound with Grover-style mixing unitaries and (ii) show that this type of QAOA requires at least a polynomial number of rounds to guarantee any constant approximation ratios for most problems. We also (iii) show that the bound depends only on the statistical values of the objective functions, and when the problem can be modeled as a $k$-local Hamiltonian, can be easily estimated from the coefficients of the Hamiltonians. For the conventional transverse-field mixer, (iv) our framework gives a trivial lower bound to all bounded-occurrence local cost problems and for all strictly $k$-local cost Hamiltonians matching known results that constant approximation ratio is obtainable with a constant-round QAOA for a few optimization problems from these classes. Using our proof framework, (v) we recover the Grover lower bound for unstructured search and, with small modification, show that our bound applies to any QAOA-style search protocol that starts in the ground state of the mixing unitaries.

研究の動機と目的

• 最適化問題に対して、保証された定数近似比を達成するために必要なQAOAラウンド数の厳密な下界を確立すること。
• アニーリング時間とQAOAの角度の関係を活用して、QAOAの性能を量子アニーリングのダイナミクスと結びつけること。
• 問題ハミルトニアンとミキサーのハミルトニアンの構造が、必要な最小ラウンド数にどのように寄与するかを分析すること。
• グローバー型ミキシングの場合、ほとんどの問題に対して、任意の定数近似比を達成するには多項式ラウンドが必要であることを示すこと。
• 非構造的探索に対してグローバー下界を回復し、ミキサーの基底状態から出発する一般のQAOA型探索プロトコルにこの枠組みを拡張すること。

提案手法

• 問題ハミルトニアン $H_1$ と初期射影 $P_0$ の交換子 $[P_0, H_1]$ のスペクトルノルムを用いて、QAOAラウンド数の一般下界を導出する。
• 非可換ハミルトニアン $H_0$ と $H_1$ によって駆動されるユニタリ操作の系列としての時間発展をモデル化し、[31]の結果をQAOAに適用する。
• 状態の進化の指標として1ラウンドあたりのエネルギー変化を用い、$ p \triangleq \frac{\left|\braket{P_0}_p - \braket{P_0}_0\right|}{2\pi\|[P_0, H_1]\|} $ を用いてラウンド数を上限で制約する。
• ミキサーのハミルトニアンが横磁場であるグローバー型ミキシングにこの枠組みを適用し、交換子ノルムを明示的に計算する。
• $k$-局所的または厳密に $k$-局所的ハミルトニアンの場合、下界は係数の統計的性質にのみ依存することを示す。
• ミキサーの基底状態から出発する一般のQAOA型探索プロトコル（アモニチュード増幅や連続時間量子ウォークを含む）にこの下界を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた最適化問題に対して、定数近似比を保証するために必要なQAOAラウンド数の最小値は何か？
• RQ2 問題ハミルトニアンとミキサーのハミルトニアンの交換子のスペクトルノルムが、QAOAラウンド数の下界にどのように影響するか？
• RQ3 この枠組みは、非構造的探索における既知のグローバー下界を回復できるか？
• RQ4 なぜ標準的な横磁場ミキサーは、有界な $k$-局所的問題に対しては自明な下界（すなわち $p \geq 1$）をもたらすのか？（既に定数ラウンドで成功することが知られているにもかかわらず）
• RQ5 角度の仮定や1ラウンドあたりの有効エネルギー変化を組み込むことで、下界をどの程度まで厳密にできるか？

主な発見

• グローバー型ミキシングでは、ほとんどの問題に対して、任意の定数近似比を保証するには少なくとも多項式ラウンドが必要である。
• 問題が $k$-局所的ハミルトニアンとしてモデル化された場合、導出された下界は、目的関数係数の統計的性質にのみ依存する。
• 問題がQAOA型探索プロトコルとして定式化された場合、この枠組みは非構造的探索におけるグローバー下界を回復する。
• 従来の横磁場ミキサーでは、有界な $k$-局所的および厳密に $k$-局所的問題に対して、交換子ノルムが大きいため、下界は自明（すなわち $p \geq 1$）になる。
• この下界は、ミキサーの基底状態から出発する任意のQAOA型プロトコルに適用可能であり、アモニチュード増幅や連続時間量子ウォークを含む。
• この枠組みは、ミキサーの選択が理論的ラウンド複雑性に顕著に影響することを明らかにし、ミキサー設計が効率的なQAOA性能にとって極めて重要であることを示唆する。