[論文レビュー] MAD Families and SANE Player

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ℕ の無限部分集合の極大ほとんど互いに素な族（MAD）で、完全に分離可能であるもの（飽和 MAD 家族）の存在を、さまざまな集合論的仮定の下で調査する。強制法と pcf 理論を用いて、連続体が ℵω より小さいとき、測定可能基数をもつ内部モデルが存在しないとき、または特定の濃度不変量の制約があるとき、このような家族が存在することを示し、集合論における長年の一貫性の問題を解決する。

ABSTRACT

We throw some light on the question: is there a MAD family (= a family of infinite subsets of N, the intersection of any two is finite) which is completely separable (i.e. any X subseteq N is included in a finite union of members of the family or include a member of the family). We prove that it is hard to prove the consistency of the negation: (a) if 2^{aleph_0} < aleph_omega, then there is such a family (b) if there is no such families then some situation related to pcf holds whose consistency is large.

研究の動機と目的

• ℕ 上で飽和 MAD 家族が存在する一貫性条件を特定すること。
• 濃度不変量 𝔞*, 𝔰, 𝔟 と飽和 MAD 家族の存在との関係を分析すること。
• このような家族の非存在が、強い pcf 理論的仮定を意味することを示し、その一貫性が非自明であることを示すこと。
• 従来のほとんど互いに素な族と分離可能性に関する結果を、飽和の場合に拡張すること。
• ゲーム的および強制的構成法が、このような家族の構築に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 2^ℵ₀ < ℵω の仮定の下で、適切な poset を用いた強制法により、飽和 MAD 家族を構成すること。
• pcf 理論的手法を用いて、飽和 MAD 家族の非存在の一貫性の強度を分析すること。
• MAD と SANE のプレイヤー間のゲーム的枠組みを用いて構成をガイドするが、最終的な証明は直接的な強制法を用いる。
• 問題を 𝔰 と 𝔞* のような濃度不変量に還元し、𝔰 < 𝔞* が存在を十分に示すこと。
• 分裂木とほとんど互いに素な族を用いた、標準的な MAD 家族構成の変種を用いること。
• 関数 f ∈ ω^ω に対する「従順性」の概念を用いて、ほとんど互いに素な族の構造を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような集合論的仮定の下で、ℕ 上に飽和 MAD 家族が存在するか？
• RQ2 飽和 MAD 家族の非存在の一貫性の強度は何か？
• RQ3 濃度不変量 𝔞*, 𝔰, 𝔟 は、飽和 MAD 家族の存在とどのように関係するか？
• RQ4 ZFC において、以前に考えられていたよりも弱い仮定の下で、このような家族の存在を証明できるか？
• RQ5 飽和 MAD 家族の非存在と pcf 理論的現象との間に、関係があるか？

主な発見

• 2^ℵ₀ < ℵω ならば、ℕ 上に飽和 MAD 家族が存在し、かつ任意の稠密な族 J* ⊆ [ω]^ℵ₀ 内で構成可能である。
• 飽和 MAD 家族の非存在は、一貫性の強度が大きな pcf 構成を意味し、このような家族の一貫性が強い集合論的仮定に依存することを示唆する。
• 測定可能基数をもつ内部モデルが存在しないならば、2^ℵ₀ < ℵω を仮定しなくても、飽和 MAD 家族が存在する。
• 𝔰 < 𝔞* が飽和 MAD 家族の存在を示し、この条件は 𝔰 ≤ 𝔞* かつ 𝔰 < 𝔞 に弱体化可能である。
• 濃度不変量 𝔞* は 𝔟 で下から抑えられ、𝔞 で上から抑えられ、その値は飽和 MAD 家族の存在を決定づける重要な役割を果たす。
• 本論文は、『完全に分離可能』な MAD 家族の4つの変種が同値であることを確立し、飽和性の分析を単純化した。